Метка: принцип Архимеда

Одна из аксиом сложения предполагает наличие у каждого числа $x$ противоположного ему числа $-x$, т. е. такого, что $x\;+\;(-x)\;=\;0$.

Определение. Натуральные числа, противоположные им и число $0$ будем называть целыми числами. Множество всех целых чисел обозначается через $\mathbb{Z}$.

Лемма 1. Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.

Пусть A – ограниченное сверху подмножество множества целых чисел. Тогда у него существует верхняя грань $c\;=\;\sup\;A$. Число $c-1$ не является верхней границей множества A и поэтому найдется такое $z_0\in A$, что $c\;-\;1\;<\;z_0\;\leq\;c$. Это число $z_0$ является наибольшим в A. В самом деле, если найдется $z’\in A$, такое, что $z’>z_0$, то $z’\geq z_0+1$ (во множестве $\mathbb{Z}$ между $z_0$ и $z_0+1$ нет целых чисел). Но $z_0+1>c$, а значит, и $z’>c$, что противоречит тому, что c – верхняя граница множества A.

Следствие. Множество $\mathbb{N}$ всех натуральных чисел неограничено сверху.

В самом деле, если бы $\mathbb{N}$ было бы ограниченным сверху, то, согласно лемме 1, в нем нашелся бы наибольший элемент $n_0$. Но $n_0 + 1 > n_0$ и $n_0+1\in\mathbb{N}$, что приводит к противоречию.

С помощью кванторов это следствие можно записать так:

$\forall a\;\in\;\mathbb{R}\;\;\exists n\;\in\;\mathbb{N}\;:\;\;n\;>\;a$

Лемма 2. В каждом непустом ограниченном снизу подмножестве
целых чисел существует наименьший элемент (доказывается аналогично лемме 1).

Теорема (принцип Архимеда). Для любого действительного числа $x$ и для любого положительного $h$ существует единственное целое число $k_0$, такое, что $({\mathrm k}_0\;-\;1)\mathrm h\;\leq\;\mathrm x\;<\;{\mathrm k}_0\mathrm h$.

Зададим $x\in R$ и $h>0$. Множество целых чисел $k$, таких, что $k>\frac xh$, непусто в силу следствия из леммы 1, и это множество ограничено снизу. Поэтому, в силу леммы 2, в этом множестве есть наименьший элемент $k_0$, и он единственный. Так как $k_0>\frac xh$, а из неравенства $k_0-1\leq\frac xh$ следует, что $(k_0-1)\leq x$.

С геометрической точки зрения принцип Архимеда означает, что каждая точка $x\in\mathbb{R}$ попадает в один, и только в один из полуинтервалов $\lbrack(k-1)h,kh\rbrack$.

Определение. Рациональным называется число, которое может быть представлено в виде $\frac pq$, где $p$ – целое, $q$ – натуральное. Множество всех рациональных чисел обозначается через $\mathbb{Q}$.

Следствие из принципа Архимеда. Пусть $a$, $b$ – действительные числа, такие, что $a < b$. Тогда найдется такое рациональное число $r$, что $a < r < b$.

Выберем натуральное $n>\frac1{b-a}$ (оно существует в силу следствия из леммы 1).Применяя принцип Архимеда с $h=\frac1n$ найдем такое целое $k$, что $\frac{k-1}n\leq a<\frac kn$. Обозначим $r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\in\mathbb{Q}$. Остается показать, что $r<b$. Если $r=\frac{\displaystyle k}{\displaystyle n}\geq b$, то из неравенства $\frac{\displaystyle k-1}{\displaystyle n}\leq a$ получим, что $\frac{\displaystyle1}{\displaystyle n}\geq b-a$, т. е. $n\leq\frac1{b-a}$, что противоречит выбору числа $n$.

Это следствие называют свойством плотности рациональных чисел.

Примеры решения задач

Пример 1.
Пусть $\{-x\}$ — множество чисел, противоположных числам $x\in\{x\}$.Доказать, что
a)$\inf\{-x\}=-\sup\{x\}$
b)$\sup\{-x\}=-\inf\{x\}$^[2]

Пример 2.Докажите что для любых 2х разных действительных чисел $a,b$ найдется 2 различных, не пересекающихся полуинтервалов, таких что каждое из чисел $a,b$ принадлежит ровно одному отрезку.

Пример 3.Пусть $\left\{x+y\right\}$ есть множество всех сумм $x+y$, где $x\in\{x\}$ и $y\in\{y\}$.
Доказать равенства:
a) $\inf\{x+y\}\;=\;\inf\{x\}\;+\;\inf\{y\}$;
b) $sup\{x+y\}\;=\;sup\{x\}\;+\;sup\{y\}$;^[2]

Литература

• В.И.Коляда, А.А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» (ч.1 стр. 9-10)
• Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов, В.И.Чехлов, М.И.Шабунин «Сборник задач по математическому анализу», 1984 (т.1 стр.10)

Тест. Целые числа. Принцип Архимеда.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

это тест для того что бы вы узнали что вы выучили и что не выучили с этой лекции

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Выберите все верные утверждения (если они есть).

   • Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.
   • Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наименьший элемент.
   • Во всяком непустом ограниченном снизу подмножестве множества целых чисел существует наименьший элемент.
   • Во всяком непустом ограниченном снизу подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.
   • Во всяком ограниченном сверху и снизу подмножестве множества целых чисел существует наибольший и наименьший элементы.
   Правильно
   

   Абсолютно верно.

   Неправильно
   

   Немного неточно, в следующий раз внимательней читайте задание.
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Что означает данная запись (с точки зрения множества натуральных чисел)?
   $\forall a\;\in\;\mathbb{R}\;\;\exists n\;\in\;\mathbb{N}\;:\;\;n\;>\;a$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Расставьте соответствия

   Элементы сортировки

   • Пусть $a, b$ – действительные числа, такие, что $a < b$. Тогда найдется такое рациональное число $r$, что $a < r < b$.
   • Для любого действительного числа $x$ и для любого положительного $h$ существует единственное целое число $k_0$ , такое, что $({\mathrm k}_0\;-\;1)\mathrm h\;\leq\;\mathrm x\;<\;{\mathrm k}_0\mathrm h$.
   • $\forall a\;\in\;\mathbb{R}\;\;\exists n\;\in\;\mathbb{N}\;:\;\;n\;>\;a$
   • $\forall A\neq\{\varnothing\}\in\mathbb{Z},\;A<sup\;\exists\;a_m\in A:\;\forall\;a\in A:\;a_m>a$

   • свойство плотности рациональных чисел.

   • Принцип Архимеда

   • Натуральные числа не ограничены сверху

   • Во всяком непустом ограниченном сверху подмножестве множества целых чисел существует наибольший элемент.

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Выберите правильное утверждение

   • $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}$
   • $\{\mathbb{N}\cup\{-\frac{555}3\}\}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
   • $\mathbb{N}\subset\{\mathbb{Z}\cup\{\mathrm\pi\}\}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
   • $\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Выделите все целые числа(если таковые имеются)

   • $-\sqrt{289}$
   • $\frac{3844}{168}$
   • $\frac{9576}{168}$
   • $\frac53$
   • $-28$
   • $\pi$
   • $8^{22^{30}}$
   Правильно
   

   Неправильно