Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)
Условие
Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить $100$ различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$
a) Суммы $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?
б) Произведения $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?
Решение
Построение таблицы, при которых сумма его диагоналей были бы одинаковыми.
Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$ суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица ниже(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
В самом деле, если $k \times k$ не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.
Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам первой таблицы добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем $10$, к третьей $20$, и так далее. Полученная таблица удовлетворяет условию.
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $11$ | $12$ | $13$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ |
| $21$ | $22$ | $23$ | $24$ | $25$ | $26$ | $27$ | $28$ | $29$ | $30$ |
| $31$ | $32$ | $33$ | $34$ | $35$ | $36$ | $37$ | $38$ | $39$ | $40$ |
| $41$ | $42$ | $43$ | $44$ | $45$ | $46$ | $47$ | $48$ | $49$ | $50$ |
| $51$ | $52$ | $53$ | $54$ | $55$ | $56$ | $57$ | $58$ | $59$ | $60$ |
| $61$ | $62$ | $63$ | $64$ | $65$ | $66$ | $67$ | $68$ | $69$ | $70$ |
| $71$ | $72$ | $73$ | $74$ | $75$ | $76$ | $77$ | $78$ | $79$ | $80$ |
| $81$ | $82$ | $83$ | $84$ | $85$ | $86$ | $87$ | $88$ | $89$ | $90$ |
| $91$ | $92$ | $93$ | $94$ | $95$ | $96$ | $97$ | $98$ | $99$ | $100$ |
Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.
Построение таблицы, при которых произведение его диагоналей были бы одинаковыми.
Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на $a^k$, где $a$ — любое целое число. Пример, где $a=2$, показан в таблице ниже.
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки $10$, к третьей $20$, и так далее. И получаем нужную нам таблицу.
| $2^1$ | $2^2$ | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ |
| $2^{11}$ | $2^{12}$ | $2^{13}$ | $2^{14}$ | $2^{15}$ | $2^{16}$ | $2^{17}$ | $2^{18}$ | $2^{19}$ | $2^{20}$ |
| $2^{21}$ | $2^{22}$ | $2^{23}$ | $2^{24}$ | $2^{25}$ | $2^{26}$ | $2^{27}$ | $2^{28}$ | $2^{29}$ | $2^{30}$ |
| $2^{31}$ | $2^{32}$ | $2^{33}$ | $2^{34}$ | $2^{35}$ | $2^{36}$ | $2^{37}$ | $2^{38}$ | $2^{39}$ | $2^{40}$ |
| $2^{41}$ | $2^{42}$ | $2^{43}$ | $2^{44}$ | $2^{45}$ | $2^{46}$ | $2^{47}$ | $2^{48}$ | $2^{49}$ | $2^{50}$ |
| $2^{51}$ | $2^{52}$ | $2^{53}$ | $2^{54}$ | $2^{55}$ | $2^{56}$ | $2^{57}$ | $2^{58}$ | $2^{59}$ | $2^{60}$ |
| $2^{61}$ | $2^{62}$ | $2^{63}$ | $2^{64}$ | $2^{65}$ | $2^{66}$ | $2^{67}$ | $2^{68}$ | $2^{69}$ | $2^{70}$ |
| $2^{71}$ | $2^{72}$ | $2^{73}$ | $2^{74}$ | $2^{75}$ | $2^{76}$ | $2^{77}$ | $2^{78}$ | $2^{79}$ | $2^{80}$ |
| $2^{81}$ | $2^{82}$ | $2^{83}$ | $2^{84}$ | $2^{85}$ | $2^{86}$ | $2^{87}$ | $2^{88}$ | $2^{89}$ | $2^{90}$ |
| $2^{91}$ | $2^{92}$ | $2^{93}$ | $2^{94}$ | $2^{95}$ | $2^{96}$ | $2^{97}$ | $2^{98}$ | $2^{99}$ | $2^{100}$ |
Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.
А. Балинский