М696. О равенстве диагоналей суммы и диагоналей произведения имея таблицу $10 \times 10$

Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)

Условие

Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить $100$ различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$

a) Суммы $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

б) Произведения $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

Решение

Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$ суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица $№1 $(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.

Таблица №1

В самом деле, если $k \times k$ не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.

Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам таблицы $№1$ добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем $10$, к третьей $20$, и так далее. Полученная таблица $№2$ удовлетворяет условию.

Таблица №2

Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.
Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на $а^k$, где $а$ — любое целое число. Пример, где $а=2$, показан в таблице $№3$.

Таблица №3

Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки $10$, к третьей $20$, и так далее. И получаем таблицу $№4$.

Таблица №4

Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.

А. Балинский