Processing math: 100%

Метка: Противоположный элемент

Теорема об аддитивной группе многочленов

Теорема. Пусть P[x] — множество многочленов над полем от переменной x, + — операция сложения многочленов. Тогда (P[x],+) — абелева группа.

Очевидно, P[x]≠∅, + — БАО. Проверим выполнение аксиом абелевой группы:

  1. Ассоциативность операции: ∀u(x),v(x),w(x)∈P[x]:(u(x)+v(x))+w(x)=u(x)+(v(x)+w(x)).
    Как известно, операция сложения многочленов обладает ассоциативностью.
  2. Коммутативность операции: ∀u(x),v(x)∈P[x]:u(x)+v(x)=v(x)+u(x).
    Сложение многочленов также обладает и коммутативностью.
  3. Покажем что существует нейтральный элемент по сложению, а именно: ∃e∈P[x]∀u(x)∈P[x]:u(x)+e=e+u(x)=u(x).
    Таким элементом выступает число 0, которое можно рассматривать как одночлен, или как многочлен с коэффициентами равными нулю. Из определения сложения многочленов, сложение с ним не изменит коэффициенты исходного многочлена, т.к. 0 является нейтральным элементом для сложения чисел.
  4. Наконец, покажем существование противоположного элемента: ∀u(x)∈P[x]∃−u(x)∈P[x]:u(x)+(−u(x))=−u(x)+u(x)=e=0.
    Получить такой элемент для любого многочлена можно просто заменив все его коэффициенты на противоположные (простыми словами — поменяв их знаки). Суммой таких многочленов, в силу противоположности их коэффициентов как чисел, будет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, или просто 0.

Итак, все аксиомы выполняются, следовательно (P[x],+) — абелева группа.

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

  1. Является ли (P3[x],+), где P3[x] — множество многочленов третьей степени, абелевой группой?
    Решение

    Очевидно, операция сложения многочленов сохраняет все свои свойства на этом множестве, а нейтральный и противоположный элементы ему принадлежат ⇒ все аксиомы выполняются. Также, + остается БАО, а P3[x]≠∅. Значит, ответ положительный.

  2. Является ли (P3[x],⋅), где P3[x] — множество многочленов третьей степени, а ⋅ — операция умножения многочленов, абелевой группой?
    Решение

    Аналогично первому примеру, P3[x]≠∅. Однако, в случае умножения, произведением двух многочленов 3-й степени будет многочлен 6-й степени (по лемме о степени произведения), что выходит за границы рассматриваемого множества. Значит, (P3[x],⋅) — не абелева группа.

Смотрите также

  1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 132-134)
  2. К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
  3. А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
  4. Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Аддитивная группа многочленов

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Аддитивная группа многочленов».

Аддитивная группа направленных отрезков


Теорема.
Множество направленных отрезков произвольной прямой, произвольной плоскости или пространства относительно операции сложения образуют абелеву группу.

  1. Алгебраичность следует из определения операции сложения векторов.
  2. Ассоциативность
  3. Коммутативность
  4. Нейтральный элемент =0, ¯AB+¯BB=¯AB.
  5. Существование противоположного элемента:

    ¯AB+¯AB′=¯AA
    ¯AB′=¯BA

    Противоположный элемент

Литература:

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 — стр.22-24.
  2. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра М.: Физико-математическая литература, 2000 — стр.12.