Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$ -периодическую функцию $f(x)$ . Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , где $S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$ : $\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$ Обозначим $F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$ тогда $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

$F_n(t)$ — четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция;
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$ ;
$F_n(t) \ge 0$ ;
$\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$ .

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$ $=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , $0 < \delta < \pi$ .

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$ .

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

Спойлер

По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$ . Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$ , выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ . Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$ . Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ , то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$ , и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ , что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$ . Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$ , $\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$ . Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ .

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$ .

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$ $\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$ -периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$ . Пусть $\left| f(x) \right| < M$ . Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$ , что $\forall n > N$ выполнено неравенство $\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$ $\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$

Аналогично для всех $n > N$ : $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$ .

Спойлер

Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$ . Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$ , $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$ , $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$ , $n = 1, 2, \ldots$ . Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$ .

[свернуть]

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Задание 1 из 5

Соотнесите выражения.

Элементы сортировки

$\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
$\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

$D_n(t) =$

$F_n(t) =$

$\sigma_n(x) =$

Задание 2 из 5

2.
Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:
- $F_n(t)$ - четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция
- $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
- $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
- $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
Задание 3 из 5

3.
Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.
- равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
- $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
- ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
Задание 4 из 5

4.
Что такое суммы Фейера?
- средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
- среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
Задание 5 из 5

5.
К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ ?

Теорема Кантора

Если функция $f$ определена и непрерывна на сегменте $[a,b]$ , то она равномерно непрерывна на $[a,b]$ .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $f$ не равномерно непрерывна на $[a,b]$ , тогда

$\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b]$ , $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ .

Выберем последовательность $\delta_n = \frac{1}{n}$ , $n = \overline{1,+\infty}$ . Согласно допущению, найдутся такие последовательности $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ , $\left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty$ , что:

$x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b]$ , $|x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n}$ : $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon$ .

Последовательность $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $\left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty$ , которая сходится к элементу $x_0$ , причем что $x_0~\epsilon~[a,b]$ . Тогда для подпоследовательности $\left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty$ $x_0~\epsilon~[a,b]$ так же является пределом.

По условию теоремы $f$ — непрерывна на $[a,b]$ , поэтому

$\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}})$ .

Это противоречит тому, что $|f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0$ , $\forall i = \overline{1,+\infty}$ .

Это противоречие и доказывает теорему.

$\blacksquare$

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}}$ не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

$f(x)$ — ограничена и непрерывна. Тогда $\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1)$ $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ . Выберем такие подпоследовательности $x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ .

$|f(x’) — f(x»)|$ $=$ $|\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1$ .
$|x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1}$ $=$ $|\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}|$ $=$ $\frac{1}{n(2n-1)}$ $\rightarrow 0$ .

$\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta$ можно выделить такие подпоследовательности $x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ $|x’_n-x»_n| < \frac{1}{n}$ .

$n > \frac{1}{\delta}$ : $|f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon$ . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция $f$ определена на $[a,b]$ . Тогда $f$ называется равномерно непрерывной, если $\forall~\varepsilon>0$ $\exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\$ такие, что $\forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b]$ , $|x_1 — x_2| < \delta$ , выполняется неравенство $| f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon$ .

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

Показать, что равномерная функция $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0,1)$ не является равномерно непрерывной.
$\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ , что $|\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon$ $\forall~n$ , что $|x-x_0| < \delta$ .
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon$ $\Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\Rightarrow$ $n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\rightarrow 0$ , $n \rightarrow \infty$ .
Это значит, что $|x-x_0|$ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $\delta$ , мы можем приближать $n_0$ к $0$ так близко, что $|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon$ , однако $|n — n_0| < \delta$ . Следовательно, функция $f(x)=\frac{1}{x}$ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $(0,1)$ .
Исследовать на равномерную непрерывность функцию $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$ на отрезке $[-1,1]$ .

$|f(x_1) — f(x_2)|$ $=$ $|\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}|$ $=$ $|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2|$ .

$|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3}$ $= \frac{5}{9} < 1$ .

Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и положим $\delta = \varepsilon$ .

Тогда $|x_1 — x_2| < \delta$ , $\forall x_1,~x_2$ $(x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1])$ $| f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon$ .

Следовательно, функция $f(x)$ на $[-1,1]$ равномерно непрерывна.
Доказать, что функция $f(x)=\sqrt{x}$ равномерно непрерывна на $[1,+\infty]$ .
По теореме Лагранжа $\forall x_1\geq 1$ и $\forall x_2\geq 1$

$|f(x_2)-f(x_1)|$ $=$ $|f(\xi)||x_2-x_1|$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1|$

Если для $\varepsilon>0$ выбрать любое $\delta$ , $0<\delta\leq2\varepsilon$ , то при $|x_2-x_1|<\delta$ выполняется $~$ $|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$ , иначе говоря, $f(x)=\sqrt{x}$ является равномерно непрерывной на $[1,+\infty]$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Метка: равномерная непрерывность

Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Доказательство

Теорема (Фейера).

Доказательство.

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Теорема Кантора

Доказательство

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Список использованной литературы:

Средний результат
Ваш результат