Алгоритм Горнера

Для того чтобы понять принцип работы алгоритма (который также называют «схемой Горнера» или «методом Горнера»), разберемся, что с его помощью можно делать, откуда берется этот алгоритм, как именно и почему он работает.

Алгоритм Горнера помогает решать две алгебраические задачи:

Решение уравнений высших степеней;
Работа с многочленами.

Все это можно делать и без использования алгоритма, однако его преимущество заключается в скорости.

Выведем схему Горнера

Пусть нам нужно найти корни многочлена $P\left(x\right),$ то есть решить уравнение $P\left(x\right)=0.$ $P\left(x\right)$ представим в виде: $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n{a_{i}x^i} = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots +\ a_{1}x + a_{0}.$ Решение может осуществляться методами, которые используют производные (если нам нужно найти только действительные корни), а также любыми итерационными способами. Последний требует многократного вычисления значений многочлена.

По следствию из теоремы Безу, многочлен $P\left(x\right)$ можно представить в виде: $P\left(x\right) = \left(x-x_{0}\right)Q\left(x\right) + R\left(x\right),$ где $Q\left(x\right)\ —$ результат деления $P\left(x\right)$ на $\left(x-x_{0}\right),\ R\left(x\right)\ —$ остаток от этого деления. Обозначим $Q\left(x\right)$ как $b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \ldots + b_{0}.$ Перепишем наш многочлен: $\begin{multline}\underbrace{a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}}_{P\left(x\right)} \equiv \\ \equiv \left(x-x_{0}\right)\underbrace{\left(b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \ldots + b_{0}\right)}_{Q\left(x\right)} + R\left(x\right). \end{multline}$ Для того чтобы вычислить значения многочлена, нам необходимо при заданном $x = x_{0}$ найти степени $x_{0}^k,\ \left(k = \overline{1,n}\right),$ результаты умножить на коэффициенты $\left(b_{n-1}, b_{n-2}, \ldots, b_{0}\right)$ , а получившееся сложить. Однако, чтобы ускорить процесс и вдвое сократить количество умножений, можно воспользоваться алгоритмом Горнера. Выведем его.

Алгоритм берет свое начало из теоремы Безу, которая звучит так: если многочлен $P\left(x\right)$ разделить на двучлен $\left(x-x_{0}\right),$ то остаток от этого деления будет равен значению $P\left(x\right)$ на элементе $x_{0},$ т.е. (остаток) $R\left(x\right) = P\left(x_{0}\right).$

В тождестве $\left(1\right)$ умножим $\left(x-x_{0}\right)$ на $Q\left(x\right)$ . Получаем $a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0} \equiv \\ \equiv b_{n-1}x^n + b_{n-2}x^{n-1} + \ldots + b_{0}x-\\-x_{0}b_{n-1}x^{n-1}-x_{0}b_{n-2}x^{n-2}-\ldots-x_{0}b_{0} + R\left(x\right).$ Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x:$ $b_{n-1} = a_{n};\ b_{n-2} = a_{n-1}+x_{0}b_{n-1};\ \ldots;\ R\left(x\right) = a_{0}+x_{0}b_{0}.$ Приходим к исходному: $R\left(x\right)=P\left(x_{0}\right).$ Результаты оформим в виде таблицы:

	$a_n$	$a_{n-1}$	$\ldots$	$a_0$
$x_0$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$\ldots$	$R\left(x\right)$

Эта таблица и есть схемой Горнера.

помимо значения остатка $R\left(x\right),$ алгоритм дает нам $Q\left(x\right)$ (неполное частное). Также, если остаток $R\left(x\right)=0,$ то $x_{0} —$ корень многочлена $P\left(x\right).$

Далее, с помощью примеров, рассмотрим, как алгоритм работает на практике.

6.3 Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
$f(x) = \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)},$
где $P(x)$ и $Q(x)$ – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)},$
где $R(x)$ – многочлен, а дробь $\displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}$ – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.

Будем различать следующие четыре вида дробей:

$\displaystyle\frac{A}{x-a}$ , где $A$ , $a$ — постоянные.
$\displaystyle\frac{A}{(x-a)^k}$ , где $A$ , $a$ — постоянные, $k = 2,3 \ldots$
$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}$ , где $M$ , $N$ , $p$ , $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$ , где $M$ , $N$ , $p$ , $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.

$\int \displaystyle\frac{a}{x-a}dx = A\ln\left | x — a \right | + C$ .
$\int \displaystyle\frac{a}{(x-a)^k}dx = -\frac{A}{k-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(x-a)^{k-1}} + C$ .
$\int \displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx$ . Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x+p) + N — p\frac{M}{2}}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{x^2 + px + q} + \displaystyle\frac{N-p\displaystyle\frac{M}{2}}{x^2 + px + q}.$
Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q$ . Тогда получим
$\int \displaystyle\frac{2x + p}{x^2 + px + q} = \ln(x^2 + px + q) + C.$
Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде $x^2 + px + q = (x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$ . Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$ . Обозначим $a^2 = q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$ . Выполняя замену $x + \displaystyle\frac{p}{2} = t$ , получим
$\int \displaystyle\frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \displaystyle\frac{1}{(x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + a^2}dx = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a^2} \int \displaystyle\frac{dt}{\displaystyle\frac{t^2}{a^2} + 1} =\\= \displaystyle\frac{1}{a} \int \displaystyle\frac{d(\displaystyle\frac{t}{a})}{(\displaystyle\frac{t}{a})^2 + 1} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\: \displaystyle\frac{t}{a} + C .$
Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$ . Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x + p) + N — p\displaystyle\frac{M}{2}}{(x^2 + px + q)^k} =\\=\displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{(x^2 + px + q)^k} + \displaystyle\frac{N-p\frac{m}{2}}{(x^2 + px + q)^k}.$
Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q.$ Тогда получим
$\int \displaystyle\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}dx = \displaystyle\frac{1}{-k+1}(x^2+px+q)^{-k+1} +C.$
Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной $t = x+\displaystyle\frac{p}{2}$ он сведется к интегралу вида $\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2+a^2)^k}$ . Обозначим этот интеграл через $I_{k}$ и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
$I_{k} = \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} = \begin{bmatrix}u = \displaystyle\frac{1}{(t^2+a^2)^k}, & dv = dt \\ du = -\displaystyle\frac{2kt}{(t^2+a^2)^{k+1}}, & v = t \end{bmatrix} =\\=\displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{t^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt = \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k}+2k\int\displaystyle\frac{t^2 + a^2 — a^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} — 2ka^2 \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^{k+1}} =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2kI_{k} — 2ka^2I_{k+1}.$
Отсюда находим
$I_{k+1} = \displaystyle\frac{1}{2ka^2}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} +(2k-1)I_k \end{bmatrix} (k = 1,2,\ldots).$
При этом, как мы уже вычислили ранее,
$I_{1} = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\:\displaystyle\frac{t}{a} + C.$
Итак, и в этом случае мы получили правило вычисления интеграла от дроби четвертого вида.

Из основной теоремы алгебры следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения конечного числа линейных сомножителей вида $x — a$ и квадратичных сомножителей вида $x^2 + px + q$ , где $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$ . Именно, справедливо равенство
$Q(x) = A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}, (1)$
где $k_i$ и $m_i$ – целые неотрицательные числа.
С использованием этого представления можно показать, что справедлива следующая

Пусть $\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}$ – правильная дробь, знаменатель которой допускает разложение (1). Тогда эта дробь единственным образом может быть представлена в виде суммы простых дробей, т.е.
$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_i}\displaystyle\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j} + \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_i}\displaystyle\frac{M_{ij}x + N_{ij}}{(x^2 + P_ix+q_i)^j}.$

Выше уже показано, что интеграл от каждой простой дроби выражается через элементарные функции. Таким образом, справедлива

Теорема. Каждая рациональная дробь имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, а именно, с помощью рациональных функций, логарифмической функции и арктангенса.

Этот метод интегрирования рациональных дробей предназначен для выделения рациональной части из интеграла от рациональной функции. Именно, используя представление (1), интеграл от правильной дроби представляется в виде
$\int \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} =\\=\int \displaystyle\frac{P(x)}{A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}}dx =\\=\int \displaystyle\frac{R_{k_1 + \ldots + k_r + 2(m_1 + \ldots + m_s) — r — 2s — 1}(x)dx}{A(x-a_1)^{k_1-1}\ldots(x-a_r)^{k_r-1}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s-1}} +\\+ \int \displaystyle\frac{S_{r+2r-1}(x)}{A(x-a_1)…(x-a_r)(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)}dx,$
где многочлены $R_{k_1+\ldots+k_r+2(m_1 + \ldots + m_s)-r-2s-1}(x)$ и $S_{r+2s-1}(x)$ степени $k_1+\ldots+k_r+2(m_1+\ldots+m_s)-r-2s-1$ и $r+2s-1$ соответственно имеют неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся затем из условия равенства производных левой и правой частей записанного равенства. Таким образом, вычисление интеграла от правильной дроби сводится к вычислению интеграла от другой правильной дроби, у которой в знаменателе все множители в первой степени. Такой интеграл вычисляется, как указано выше, путем разложения подынтегрального выражения
на простые дроби. Тем самым отпадает необходимость в использовании полученной выше рекуррентной формулы для вычисления интегралов от простой дроби четвертого типа.

Примеры решения задач

Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{2x^2 — 3x + 3}{x^3 — 2x^2 + x}dx$ .

Решение

Разложим знаменатель на множители: $x^3 -2x^2 + x = x(x-1)^2$ . Тогда подынтегральная функция представима в виде

$\displaystyle\frac{2x^2-3x+3}{x(x-1)^2} = \displaystyle\frac{A}{x} + \displaystyle\frac{B}{x-1} + \displaystyle\frac{C}{(x-1)^2},$
где $A$ , $B$ , $C$ – постоянные коэффициенты. Для их нахождения приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем

$2x^2-3x+3=A(x-1)^2 + Bx(x-1)+Cx.$

Поскольку это тождество имеет место при всех $x$ , кроме $x=0,x=1,$ то коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях $x$ равны. Приравнивая их, получаем линейную систему уравнений

$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=2\\ x : & -2A-B+C=-3\\ x^0 : & A=3\end{matrix}\right\}$

Решая эту систему, находим $A = 3$ , $B = −1$ , $C = 2.$ Подставляя эти значения в разложение подынтегральной функции и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
$I=3\ln\left | x \right | — \ln \left | x-1 \right | — \displaystyle\frac{2}{x-1} + C = \ln \displaystyle\frac{\left | x \right |^3}{\left | x-1 \right |} — \displaystyle\frac{2}{x-1} +C.$
Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{x dx}{x^3 + 1}dx$ .

Решение

Как и в предыдущем примере, разложим на множители знаменатель:

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1).$
Раскладываем подынтегральное выражение с неопределнными коэффициентами
$\displaystyle\frac{x}{x^3 + 1} = \displaystyle\frac{A}{x+1} + \displaystyle\frac{Mx+N}{x^2-x+1},$
откуда $x = A(x^2−x+1)+(Mx+N)(x+1)$ . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , составляем линейную систему для нахождения чисел $A$ , $M$ , $N$ :
$\left.\begin{matrix}x^2 : & 0+A+M,\\ x : & 1=-A+M+N,\\ x^0 : & 0=A+N.\end{matrix}\right\}$
Решая эту систему, находим $A = −\displaystyle\frac{1}{3}, M = N =\displaystyle\frac{1}{3}$ . Поэтому
$I=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{3}\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2-x+1}dx=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\int \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \displaystyle\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{dx}{x^2-x+1}=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{2} \int \displaystyle\frac{dx}{(x — \displaystyle\frac{1}{2})^2 + \displaystyle\frac{3}{4}} =\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\displaystyle\frac{1}{2}) + C.$
Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{(x^2 — 19x + 6)}{(x-1)(x^2 + 5x + 6)}dx$

Решение

Разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3).$ Тогда подынтегральная функция представима в виде:
$\displaystyle\frac{x^2-19x+6}{(x-1)(x^2+5x+6)} = \displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+2} + \displaystyle\frac{C}{x+3}$
Для нахождения $A, B$ и $C$ приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем
$A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 2x — 3) + c(x^2 + x — 2) = x^2 -19x+6$
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ , составляем систему линейных уравнений для нахождения чисел $A, B, C$
$\left.\begin{matrix} x^2 : & 1=A+B+C \\ x : & -19 = 5A+2B+C \\ x^0 : & 6=6A-3B-2C \end{matrix}\right\}$
Решаем систему, получаем значения $A = -1; B = -16; C=18$ . Возвращаемся к изначальному интегралу и находим окончательное решение
$\int (-\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{16}{x+2}+\displaystyle\frac{18}{x+3})dx = -\ln\left | x-1 \right | — 16\ln\left | x+2 \right |+18\ln\left | x+3 \right | + C.$
Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx$

Решение

По формуле суммы кубов раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx = \int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}dx.$
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей
$\displaystyle\frac{A}{x+2} +\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2-2x+4} = \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}.$
Приводим дробь к общему знаменателю
$A(x^2 — 2x + 4) + B(x^2 + 2x) + C(x+2) = x^2-6x+8$
Составим и решим систему
$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=1\\ x : & -2A+2B+C=-6\\ x^0 : & 4A+2C=8\end{matrix}\right\}$
Подставим значения $A = 2$ , $B = -1$ , $C = 0$ в функцию и найдем интеграл
$\int (\displaystyle\frac{2}{x+2} — \displaystyle\frac{x}{x^2-2x+4})dx = 2\int \displaystyle\frac{dx}{x+2} + \int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}d(x^2-2x+4) — dx}{x^2 -2x +4} =\\= 2\ln \left | x+2 \right | — \displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{d(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} — \int\displaystyle\frac{dx}{x^2-2x+1 +3} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C.$

Интегрирование рациональных функций

Тест на тему: Интегрирование рациональных функций

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Рациональная функция функция вида $\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}$ , где $Q(x)$ и $P(x)$ — это
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.

Количество баллов: 1

Какая из данных дробей является дробью какого типа?

Элементы сортировки

$-\displaystyle\frac{9}{x-1}$
$\displaystyle\frac{13}{x^2 - 4x + 4}$
$\displaystyle\frac{15x + 4}{7x^2 + x + 3}$
$\displaystyle\frac{3x - 8}{(x^2 - 6x + 11)^3}$

Дробь 1 типа

Дробь 2 типа

Дробь 3 типа

Дробь 4 типа

Неправильно

$\frac{15x + 4}{7x^2 + x + 3}$ — дробь 3 типа
$\frac{3x — 8}{(x^2 — 6x + 11)^3}$ — дробь 4 типа
$-\frac{9}{x-1}$ — дробь 1 типа
$\frac{13}{x^2 — 4 + 4}$ = $\frac{13}{(x-2)^2}$ — дробь 2 типа

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1
Чему равен интеграл $\int \frac{1}{x^2 + px + q}$
- $\frac{1}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}} \arctan \frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}} + C$
- $\sqrt{q-\frac{p^2}{4}} \arctan \frac{x+\frac{p}{2}}{q-\frac{p^2}{4}} + C$
- $\ln\left | \frac{\sqrt{x+\frac{p}{2}}}{q-\frac{p^2}{4}} \right | + C$
- $\sqrt{x^2+\frac{p}{2}} \ln\left | \frac{x^2 + px + q}{q-\frac{p^2}{4}} \right | + C$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Какие из дробей является правильными?
- $\frac{x^3 + 1}{7x^2 - 9x + 1}$
- $\frac{3x^4 - 6}{(2x^2 +x -3)^2}$
- $\frac{(2x^6 - x)^3}{(x^4 + 4x -1)^5}$
- $\frac{3^3 + x}{6x^5 - 5x + 3}$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Действия при интегрировании рациональных функций:
- Проверить, является ли функция правильной дробью.
- Представить изначальную дробь в виде суммы элементарных дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов.
- Привести дроби к общему знаменателю и приравнять числитель к числителю первоначальной дроби.
- Составить систему линейных уравнений, решить ее и найти значение всех коэффициентов.
- Подставить каждый коэффициент в сумму элементарных дробей
- Найти интеграл суммы элементарных дробей, используя формулы интегралов элементарных дробей
Правильно

Неправильно

Литература:

В.И.Коляда, А.А.Кореновский. «Курс лекций по математическому анализу» в двух частях / часть первая – Одесса: Астропринт, 2009 (стр. 288)

Смотрите также:

Следствия из основной теоремы алгебры. Канонические разложения.

Задача 1

Разложить на линейные (неприводимые) множители полином $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$

Спойлер

Каноническое разложение многочлена — разложение на неприводимые множители.
Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
Дискриминант для уравнения третей степени выглядит, как: $latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} + 18a_1 a_2 a_3 a_4 — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2}.$
Если комплексное (но не действительное) число $latex \alpha$ служит корнем многочлена $latex f(x),$ с действительными коэффициентами, то корнем для $latex f(x)$ будет и сопряжённое число $latex \overline{\alpha }.$
Любой многочлен выше второй степени (и при том нечётной) с вещественными коэффициентами точно имеет хотя бы один вещественный корень.

Исходя из основной теоремы алгебры, и всего вышесказанного данный многочлен степени 3 точно имеет 3 комплексных корня, однако он имеет вещественные коэффициенты, так что возможны 3 случая:

$latex D(f)>0 \Rightarrow$ полином имеет 3 различных вещественных корня.
$latex D(f)=0 \Rightarrow$ хотя бы 2 корня совпадают.
$latex D(f)<0 \Rightarrow$ уравнение имеет один вещественный и пару сопряжённых корней.

[свернуть]

Спойлер

Найдём дискриминант многочлена $latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.$
$latex D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} — 4a_1 a_{3}^{3} — 27a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 18a_1 a_2 a_3 a_4=$ $latex -4\cdot (-6)^{3}\cdot (-6)+(-6)^2 \cdot 11^{2} — 4\cdot 1\cdot 11^{3} -$ $latex 27\cdot 1^2 \cdot (-6)^{2}+18\cdot (-6) \cdot (-6) \cdot 11=$ $latex -5184+4356-5324-972+7128=4$
Подберём метод решения. latexD(f)=4>0⇒ все корни вещественные,следовательно будет удобно использовать формулу Виета (которая также является одним из следствий основной теоремы алгебры).
Найдём корни. По теореме Виета для кубического полинома имеем, что:
- $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= -\frac{a_{1}}{a_{2}}$
- $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac {a_{3}}{a_{1}}$
- $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = — \frac{a_{4}}{a_{1}}$
Учитывая значения коэффициентов (а в особенности то, что $latex a_1 = 1$ ) имеем:
- $latex x_{1} + x_{2} + x_{3}= 6$
- $latex x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 11$
- $latex x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 6$
Очевидно, что $latex x_1 =1, x_2 = 2, x_3 = 3.$
Учитывая найденные корни, разложим данный полином. Все корни данного полинома являются вещественными, а старший многочлен равен 1, следовательно разложение будет вида $latex (x-\alpha _1 )(x-\alpha _2 )(x-\alpha _3 ),$ где $latex \alpha _i , i= \overline{1,3}$ — соответствующие корни многочлена. Имеем:
$latex f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6=$ $latex (x-1)(x-2)(x-3).$ Задача решена.

[свернуть]

Задача 2

Разложить на неприводимые вещественные множители многочлен $latex f(x)=x^6 +27.$

Спойлер

Всякий многочлен $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида $latex (x-\alpha ),$ соответствующих его действительным корням, и квадратных вида $latex (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )=$ $latex x^{2} — (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha },$ соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
Если комплексное (но не вещественное) число $latex \alpha$ служит корнем многочлена $latex f(x)$ с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена $latex f(x)$ также будет и сопряжённое к нему $latex \overline{\alpha }.$

[свернуть]

Спойлер

Учтите, что $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ а также, если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow$ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$ $latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$ $latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} +$ $latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n})$

[свернуть]

Спойлер

Как было написано в указаниях к решению, $latex f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27},$ однако следует помнить, что если $latex x \in \mathbb{C} \Rightarrow$ существует ровно n различных значений для $latex \sqrt[n]{x},$ причём полученных по формуле: $latex x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),$ $latex \sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},$ $latex w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} +$ $latex i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n}).$ Для начала переведём -27 в тригонометрический вид комплексного числа: $latex -27 = -27 +0\cdot i = 27\cdot (\cos (-\pi )+i\cdot \sin (-\pi )).$ Теперь мы можем воспользоватся формулой, описанной ранее:

$latex w_0 = \sqrt[6]{27}\cdot (\cos -\frac{\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin -\frac{\pi}{6})=$ $latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$ $latex \frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$latex w_1 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin \frac{\pi}{6})=$ $latex \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$ $latex \frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$latex w_2 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{3\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin \frac{3\pi}{6})=$ $latex i\cdot \sqrt{3}$
$latex w_3 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{5\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin \frac{5\pi}{6})=$ $latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$ $latex -\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$latex w_4 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{7\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin \frac{7\pi}{6})=$ $latex -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$ $latex -\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$latex w_5 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{9\pi}{6} +$ $latex i\cdot \sin \frac{9\pi}{6})=$ $latex -i\cdot \sqrt{3}$

Заметим, что $latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5},$ как и должно быть, ведь если комплексное (но не вещественное) число служит корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена также будет и сопряжённое к нему.
Так, как все корни данного многочлена комплексные, то все множители будут вида $latex (x-w_k )\cdot (x-\overline{w_k } )=$ $latex x^{2} — (w_k + \overline{w_k } )\cdot x +w_k \cdot \overline{w_k }, k=\overline{0,n-1}.$ Данный полином шестой степени, следовательно он имеет 6 корней, однако, так, как они комплексные, то для разложения в вещественные множители, сопряжённые значения будут перемножены и в итоге мы получим 3 множителя. Найдём их, учитывая написанное выше ( $latex w_0 = \overline{w_1},$ $latex w_2 = \overline{w_5},$ $latex w_3 = \overline{w_5}$ ):

$latex m_1 = x^2 — (w_0 + w_1)x + w_0 \cdot w_1 =$ $latex x^2 — (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$ $latex (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$ $latex x^2-x+3$
$latex m_2 = x^2 — (w_3 + w_4)x + w_3 \cdot w_4 =$ $latex x^2 — (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +$ $latex (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=$ $latex x^2+x+3$
$latex m_3 = x^2 — (w_2 + w_5)x + w_2 \cdot w_5 =$ $latex x^2 — (i\cdot \sqrt{3}-i\cdot \sqrt{3})x +$ $latex i\cdot \sqrt{3}\cdot (-i\cdot \sqrt{3})=$ $latex x^2+3$

В результате имеем: $latex f(x) = x^6 +27 = (x^2-x+3)(x^2+x+3)(x^2+3)$

[свернуть]

Задача 3

Построить полином по заданной таблице значений, пользуясь формулой Лагранжа:

№	0	1	2	3
x	1	2	3	4
y	2	1	4	3

Спойлер

Одним из следствий из основной теоремы алгебры является то, что всегда существует многочлен не более, чем n-ной степени, принимающий наперёд заданные значения ( $latex y_0,y_1,…y_{n+1}$ ) при n+1 заданных значениях неизвестного ( $latex x_0,x_1,\dots x_{n+1}$ ), и по Лагранжу такой многочлен определяется формулой: $f(x)=\underset{i=1} {\overset{n+1} {\sum }} \frac{y_i (x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\dots (x-a_{n+1})}{(a_i -a_1)(a_i -a_2)\dots (a_i -a_{i-1})(a_i -a_{i+1})\dots (a_i -a_{n+1})}$

[свернуть]

Спойлер

Подставим данные значения в интерполяционную формулу Лагранжа, получим:
$latex \large \frac{2(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+$ $latex \large \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+$ $latex \large \frac{4(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+$ $latex \large \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}=$ $latex \large -\frac{1}{3}(x-2)(x-3)(x-4)-$ $latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+$ $latex \large 2(x-1)(x-2)(x-4)+$ $latex \large \frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)=$ $latex \large -\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15$

[свернуть]

Канонические разложения.

Таблица лучших: Следствия из основной теоремы. Канонические разложения.

максимум из 30 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

	$1$	$-8$	$7$	$-4$	$16$	$24$
$2$	$1$

	$1$	$-8$	$7$	$-4$	$16$	$24$
$2$	$1$	$-6$

	$1$	$-8$	$7$	$-4$	$16$	$24$
$2$	$1$	$-6$	$-5$	$-14$	$-12$	$0$

	$1$	$0$	$-8$	$14$	$-9$	$2$
$1$	$1$	$1$	$-7$	$7$	$-2$	$0$

	$1$	$0$	$-8$	$14$	$-9$	$2$
$1$	$1$	$1$	$-7$	$7$	$-2$	$0$
$1$	$1$	$2$	$-5$	$2$	$0$
$1$	$1$	$3$	$-2$	$0$
$1$	$1$	$4$	$2$

	$A$	$0$	$B$	$0$	$1$
$1$	$A$	$A$	$A+B$	$A+B$	$A+B+1$
$1$	$A$	$2A$	$3A+B$	$4A+2B$
$1$	$A$	$3A$	$6A+B$

	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$\ldots$	$a_2$	$a_1$	$a_0$
$x_0$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$\ldots$	$b_1$	$b_0$	$h_0$
$x_0$	$с_{n-1}$	$с_{n-2}$	$с_{n-3}$	$\ldots$	$с_1$	$h_1$
$x_0$	$d_{n-1}$	$d_{n-2}$	$d_{n-3}$	$\ldots$	$h_2$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}$
$x_0$	$f_{n-1}$	$f_{n-2}$	$h_{n-2}$
$x_0$	$g_{n-1}$	$h_{n-1}$
$x_0$	$h_n$

	$1$	$6$	$3$	$-28$	$-9$	$54$	$-27$
$1$	$1$	$7$	$10$	$-18$	$-27$	$27$	$0$
$1$	$1$	$8$	$18$	$0$	$-27$	$0$
$1$	$1$	$9$	$27$	$27$	$0$
$1$	$1$	$10$	$37$	$64$
$1$	$1$	$11$	$48$
$1$	$1$	$12$
$1$	$1$

	$9$	$3$	$-23$	$4$	$-5$	$23$	$-13$	$2$
$1$	$9$	$12$	$-11$	$-7$	$-12$	$11$	$-2$	$0$
$1$	$9$	$21$	$10$	$3$	$-9$	$2$	$0$
$1$	$9$	$30$	$40$	$43$	$34$	$36$
$-1$	$9$	$12$	$-2$	$5$	$-14$	$16$

	$1$	$-2-i$	$0$	$-3-2i$	$5$
$1-i$	$1$	$-1-2i$	$-3-i$	$-7$	$2-7i$

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Выведем схему Горнера

Примеры решения задач

Почему алгоритм Горнера работает?

Дополнительные примеры решения задач

Алгоритм Горнера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Смотрите также

Примеры решения задач

Интегрирование рациональных функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Рекомендуемая литература:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Канонические разложения.

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Следствия из основной теоремы. Канонические разложения.