Определение
Если функция f определена в некоторой окрестности точки x0 и является бесконечно дифференцируемой (имеет в данной точке производные всех порядков), то степенной ряд вида ∞∑n=0an(x−x0)n
называется рядом Тейлора функции f в окрестности точки x0, где числа an=f(n)(x0)n!(n=0,1,2,…)
это коэффициенты Тейлора функции f в окрестности точки x0.
Спойлер
Сходимость ряда Тейлора к функции
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x0. Поставим ей в соответствие формулу Тейлора: f(x)=n∑n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n+rn(x),
где rn(x) — остаток в формуле Тейлора. Обозначим, Sn(x)=n∑n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n,
где Sn(x)— частичная сумма данного ряда Тейлора данной функции. Следовательно, можем записать равенство: f(x)=Sn(x)+rn(x).
Тогда для того, чтобы limn→∞sn(x)=f(x), функция f(x) на заданном интервале должна быть равной сумме своего ряда Тейлора.
Таким образом, для сходимости ряда Тейлора функции f(x) к функции f(x) на некотором интервале необходимо и достаточно , чтобы для всех x из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю: limn→∞rn(x)=0.
Литература
- Лысенко З.М. Конспекты лекций.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 116-125.
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 434-438
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 67-75
Коэффициенты Тейлора
Предлагаю пройти Вам данный тест на закрепление материала по данной статье.
Таблица лучших: Коэффициенты Тейлора
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
