[latex]1^{\circ}.[/latex] Локальная формула Тейлора.
Если функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой окрестности [latex]\mid x-x_{0}\mid<\varepsilon[/latex] т.[latex]x_{0}[/latex] и имеет в этой окрестности производные [latex]f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)[/latex] до [latex](n-1)[/latex]-го порядка включительно и в т.[latex]x_{0}[/latex] существует производная n-го порядка [latex]f^{(n)}(x_{0})[/latex], то
[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(x-x_{0})^{k}+o(x-x_{0})^{n}[/latex], (1)
где [latex]a_{k}=\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!},(k=0,1,\cdots,n).[/latex]
В частности, при [latex]x_{0}=0[/latex] имеем:
[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n).[/latex] (2)
При указанных условиях представление (1) единственно.
Если в т.[latex]x_{0}[/latex] существует производная [latex]f^{(n+1)}(x_{0})[/latex], то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде [latex]o((x-x_{0})^{n+1})[/latex].
Из локальной формулы Тейлора (2) Получаем следующие 5 важных разложений:
I. [latex]e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})[/latex]
II. [latex]sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})[/latex]
III. [latex]cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})[/latex]
IV. [latex](1+x)^{m}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n)!}x^{n}+o(x^{n})[/latex]
V. [latex]ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n})[/latex]
[latex]2^{\circ}.[/latex]Формула Тейлора.
Если функция [latex]f(x)[/latex] определена на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] и имеет на этом сегменте непрерывные производные [latex]f'(x),\cdots,f^{(n-1)}(x)[/latex], при[latex]a<x<b[/latex] существует конечная производная [latex]f^{(n)}(x)[/latex], то
[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+r_{n}(x)[/latex] [latex](a\leq x\leq b),[/latex], где
[latex]r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(r-a)^{n}[/latex] [latex](a<\theta<b),[/latex]
(остаточный член в форме Лагранжа), или
[latex]r_{n}(x)=\frac{f^{(n)}(a+\theta_{1}(x-a))}{(n-1)!}(1-\theta_{1})^{n-1}(x-a)^{n}[/latex] [latex](a<\theta_{1}<b),[/latex]
(остаточный член в форме Коши)
[latex]P(x)=a_{0}+a_{1}\ast x+a_{2}\ast x^{2}+a_{3}\ast x^{3}+a_{4}\ast x^{4}+\cdots +a_{n-1}\ast x^{n-1}+a_{n}\ast x^{n}[/latex]
[latex]{P}'(x)=a_{1}+2a_{2}\ast x +3a_{3}\ast x^{2}+ 4a_{4}\ast x^{3}+\cdots +(n-1)a_{n-1}\ast x^{n-2}+ na_{n}\ast x^{n-1}[/latex]
[latex]{P}»(x)=2a_{2}+6a_{3}\ast x +12a_{4}\ast x^{2}+ \cdots +(n-1)(n-2)a_{n-1}\ast x^{n-3}+ (n-1) na_{n}\ast x^{n-2}[/latex]
[latex]P^{(3)}(x)=6a_{3} + 24a_{4}*x + \cdots + (n-1)(n-2)(n-3)a_{n-1}*x^{n-4}+ (n-1)*[/latex]
[latex]*(n-2)na_{n}*x^{n-3}[/latex]
[latex]\cdots[/latex]
[latex]P^{(n-1)}(x)=(n-1)!*a_{n-1}+ n!a_{n}*x[/latex]
[latex]P^{(n)}(x)=n!a_{n}[/latex]
[latex]\left. P(0)=a0P′(0)=a1P»(0)=2!∗a2P(3)(0)=3!∗a3⋯P(n—1)(0)=(n—1)!∗an—1P(n)(0)=n!∗an \right\} \Leftrightarrow \left.a0=P0a1=P′(0)1!a2=P»(0)2!a3=P(3)(0)3!⋯an—1=P(n—1)(0)n—1!an=P(n)(0)n! \right\}[/latex]
[latex]P(x)=P(0)+\frac{{P}'(0)}{1!}x+ \frac{{P}»(0)}{2!}x^{2}+ \frac{P^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{P^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots + \frac{P^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}++ \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^{n}[/latex]
(формула Тейлора для многочлена по степеням [latex]x[/latex]).
Замечание
[latex]P(x)=A_{0}+A_{1}(x-x_{0})+A_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots +A_{n}(x-x_{0})^{n}[/latex]
[latex]A_{k}=\frac{P^{(k)}(x_{0})}{k!}\Rightarrow P(x)=P(x_{0})+\frac{{P}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{{P}»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{P^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]
(ф-ла Тейлора для многчлена по степеням [latex](x-x_{0}))[/latex]
Частный случай формулы Тейлора при [latex]x_{0}=0[/latex] называется формулой Маклорена.
Пусть функции f и g в т. [latex]x_{0}[/latex] такие, что:
[latex]f(x_{0})=g(x_{0})[/latex]
[latex]{f}'(x_{0})={g}'(x_{0})[/latex]
[latex]{f}»(x_{0})={g}»(x_{0})[/latex]
[latex]\cdots[/latex]
[latex]f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})[/latex]
Следует ожидать, что функции f и g в окрестности т.[latex]x_{0}[/latex] похожи (графиками). И тогда функцию f локально можно заменить на g.
Нас будет интересовать g(x) как многочлен. Т.е. [latex]g(x)=P_{n}(x_{0},x)=\overbrace{c_{0}}^{f(x_{0})}+\overbrace{c_{1}}^\frac{{f'(x_{0})}}{1!}(x-x_{0})+\cdots +\overbrace{c_{n}}^\frac{{f^{(n)}(x_{0})}}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]
[latex]f(x)\approx g(x)[/latex]
[latex]f(x_{0})=P_{n}(x_{0},x)[/latex]
[latex]{f}'(x_{0})={P}_{n}'(x_{0},x)[/latex]
[latex]\cdots [/latex]
[latex]f^{(n)}(x_{0})=P_{n}^{(n)}(x_{0},x)[/latex]
Итак, многочлен [latex]P_{n}(x,x_{0})=f(x_{0})+\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\cdots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}[/latex]
Многочлен Тейлора функции f в т.[latex]x_{0}[/latex] порядка n.
Пример.
Разложить многочлен [latex]P(x)=-4x^{3}+3x^{2}-2x+1[/latex] по степеням [latex]x+1[/latex].
Решение: Здесь [latex]x_{0}=-1, P'(x)=-12x^{2}+6x-2, P»(x)=-24x+6, P^{(3)}(x)=-24.[/latex]
Поэтому [latex]P(-1)=10, P'(-1)=-20, P»(-1)=30, P^{(3)}(-1)=-24.[/latex] Следовательно,
[latex]P(x)=10+\frac{-20}{1!}(x+1)+\frac{30}{2!}(x+1)^{2}+\frac{-24}{3!}(x+1)^{3},[/latex]
т.е. [latex]-4x^{3}+3x^{2}-2x+1=10-20(x+1)+15(x+1)^{2}-4(x+1)^{3}.[/latex]
Список литературы:
1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)
2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, Москва 1972, стр.138-139.
3. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.
