Остатки формулы Тейлора



Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- $latex r_{n} (x_{0},x) $) можно определить, как:
  1. Погрешность, которая возникает при замене функции $latex y=f(x) $ многочленом $latex P_{n}(x_{0},x) .$ Если выполнены условия теоремы о представлении формулы $latex f$ в виде многочлена Тейлора, то для значений $latex x$ из окрестности точки $latex x_{0},$ для которых погрешность $latex r_{n}(x_{0},x) $ достаточно мала, многочлен $latex P_{n}(x_{0},x) $ дает приближенное представление функции.
  2. (На рисунке) Разница значений функции $latex f(x) $ и выражающим её многочленом Тейлора в точке $latex x_{0} :$$latex f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x) $ (уклонение полинома $latex P_{n} $ от функции $latex f(x) $).

r(x0,x)

Существует 3 основных представления остаточного члена:

  1. В форме Лагранжа: $$ \large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta < 1 .$$$\ $$
  2. В форме Коши: $$\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta_{1} < 1 .$$$\ $$
  3. В форме Пеано: $$ \large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \ $$ при $latex x\rightarrow a .$

Примеры:

  1. Написать разложение функции $latex e^{\sin (x)} $ до $latex x^{3} $ с остатком в форме Пеано.
    Спойлер

    $$ e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x)) $$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых $latex x $ и $latex \sin (x) $ это все равно, что $latex o(x^{3}) ,$ то есть:
    $latex e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+ $$latex \frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+ $$latex \frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)= $$latex x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow $$latex e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+ $$latex \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}) $
    Член с $latex x^{3} $ аннулируется и, окончательно, имеем: $$ e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3}) $$ $$\ $$

  2. [свернуть]

  • Вычислить предел, используя формулу Тейлора: $$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^x+x^2}{\mathrm{arctg} (x)-\sin (x)} $$
    Спойлер

    Разложим числитель по формуле Тейлора: $$\mathrm{tg} (x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\,\, x\rightarrow 0; \ $$ $$ 2 \cdot \mathrm{tg} (x)=2\cdot x+ \frac {2\cdot x^{3}}{3}+o(x^{3}),\,\, x\rightarrow 0;$$ $$\sqrt {1+t}=(1+t)^{\frac {1}{2}}=1+\frac {1}{2}t-\frac {1}{8}t^2+\frac {1}{16}t^{3}+o(t^{3}),\,\, t\rightarrow 0;$$ Таким образом: $latex \sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}= $$latex 1+\frac{1}{2}2 \cdot \mathrm{tg} (x)- $$latex \frac{1}{8}(2 \mathrm{tg} (x))^2+$$latex \frac{1}{16}(2 \cdot \mathrm{tg} (x))^3+o(\mathrm{tg} ^{3} (x))= $$latex 1+\mathrm{tg} (x)-\frac{1}{2} \mathrm{tg} ^{2} x+$$latex \frac{1}{2} \mathrm{tg} ^3 (x)+o(\mathrm{tg} ^{3} (x))= $$latex 1+x+\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)= $$latex 1+x-\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{6}x^3+o(x^3) . \ $
    Учитывая, что $latex e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) ,$ находим, по формуле Тейлора ($latex x_{0}=0$) числитель дроби $latex \sqrt{1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^x+x^2= $$latex 1+x-\frac{1}{2}x^2+$$latex \frac{5}{6}x^3-1-x-$$latex \frac{x^2}{2}-$$latex \frac{x^3}{6}+$$latex x^2+o(x^3)= $$latex \frac{2}{3}x^3+o(x^3),\, x\rightarrow 0 .$
    Далее раскладываем знаменатель: $latex \sin x= x-$$latex \frac{x^3}{6}+o(x^3);\ $$latex \arcsin x=x+$$latex \frac{x^3}{6}+o(x^3). $ Отсюда $latex \arcsin(x)- \sin (x) = $$latex \frac {x ^{3}}{3} + o (x ^{3}) $ Таким образом, дробь представляется в виде: $$\frac{\frac{2}{3}x^3+o(x^3)}{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)}$$ Следовательно:
    $$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac {\sqrt {1+2\cdot \mathrm{tg} (x)}-e^{x}+x^{2}}{ \mathrm{arctg} (x)-\sin (x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{2}{3}x^3+o(x^3)}{\frac{1}{3}x^3+o(x^3)} = 2 $$

    [свернуть]
  • Список литературы:

    1. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.
    2. Тер-Крикоров А. М. Шабунин М. И. «Курс математического анализа» 3 издание 2001 года, стр. 158-172
    3. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа 1» стр. 339-353
    4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 44-46

    Формула Тейлора. Виды остаточных членов.


    Таблица лучших: Остатки формулы Тейлора

    максимум из 30 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *