ранг — ПриМат

Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. То есть, если в СЛАУ $r=\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , где $\operatorname{rang}A$ — обозначает ранг матрицы системы, а $\operatorname{rang}\widetilde{A}$ — ранг расширенной матрицы, тогда данная матрица совместна, причём система имеет единственное решение, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ , где $n$ — число неизвестных, и бесконечное число решений, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ .

Пусть задана расширенная матрица $\widetilde{A}$ :

$\widetilde{A}=\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} \; + \; a_{12}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{1n}x_{n} \; = \; b_{1} \\a_{21}x_{1} \; + \; a_{22}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{2n}x_{n} \; = \; b_{2} \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\a_{m1}x_{1} \; + \; a_{m2}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{mn}x_{n} \; = \; b_{m} \end{matrix}\right.$

Скажем, что данная система совместна, в таком случае существуют числа $\left(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\right)$ , которые являются частным решением матрицы, при подстановке их в систему. Мы получим равенство:

$\begin{Vmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{Vmatrix} = c_{1}\begin{Vmatrix} a_{11}\\ a_{21} \\\vdots\\ a_{m1} \end{Vmatrix} + c_{2}\begin{Vmatrix} a_{12}\\ a_{22} \\\vdots\\ a_{m2} \end{Vmatrix} + \dots+ c_{n}\begin{Vmatrix} a_{1n}\\ a_{2n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{Vmatrix}$

Следовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов $\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right),$ матрицы $A.$ Так же, мы можем заметить, что сколько бы мы раз не приписали или не вычеркнули строку(столбец), от этого не меняется ранг системы, из этого следует, что $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ .

Если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , то это означает, что у них один и тот же базисный минор. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора.

Следствие:

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ единственное решение.
$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ бесконечное число решений.
Количество главных переменных равно рангу системы.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых используеться критерий совместности $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}.$

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 4 \\3x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 0 \\5x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; = \; 2 \end{matrix}\right.$

Решение

Сначала, приведем матрицу к треугольному виду.

$\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 5 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 0 \\ 5 & -2 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 2 & 5 & 4\\ -1 & 3 & 5 & 0 \\ -2 & 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -7 & -7 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий, получены эквивалентные исходнной матрице системы $A=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -7\end{matrix}\right)$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
$\left\{\begin{matrix} x_{1} \; + \; x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 7 \\x_{1} \; + \; 2x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 1 \\-2x_{1} \; — \; 2x_{3} \; = \; 3 \end{matrix}\right.$

Решение

Приведем матрицу к ступенчистому виду:

$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 3 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 2 & -4 & -5 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)$

$\Rightarrow \widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$

$\Rightarrow A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}A=2$

$\operatorname{rang}A\neq \operatorname{rang}\widetilde{A}$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.
$\left\{\begin{matrix} 5x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 2x_{3} \; + \; 4x_{4} = \; 3 \\4x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; + \; 7x_{4} = \; 1 \\8x_{1} \; — \; 6x_{2} \; — \; x_{3} \; — \; 5x_{4} = \; 9 \\7x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 7x_{3} \; + \; 17x_{4} = \; \lambda \end{matrix}\right.$

Решение

Очевидно, что от значения $\lambda$ зависит, будет ли матрица совместна или нет.

Сначала приведем матрицу к треугольному ввиду:

$\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 5 & -3 & 2 & 4 & 3\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 8 & -6 & -1 & -5 & 9 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 0 & 4 & 14 & 38 & \lambda — 14 \end{matrix} \right)\sim\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right)$

При $\lambda\neq0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.

При $\lambda=0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=2$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна.

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Тест на закрепление материала «Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли».

Задание 1 из 4

1.
матрица совместима, если…
- ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы
- ранг основной матрицы больше расширенной матрицы
- ранг основной матрицы меньше расширенной матрицы
Задание 2 из 4

2.
Впишите пропущенные слова.
- Система имеет единственное решение, если ранг (равен) числу неизвестных, и бесконечное число решений, если ранг (меньше) числа неизвестных.
Задание 3 из 4

3.
Является ли система совместной
$\left\{\begin{matrix} 3x \; + \; 2y \; — \; 5z \; = \; -1 \\2x \; — \; 1y \; + \; 3z \; = \; 13 \\ 1x \; + \; 2y \; — \; z \; = \; 9 \end{matrix}\right.$
- да
- нет
Задание 4 из 4

4.
При каких значениях $\lambda$ система
$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; + \; 3x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 1 \\4x_{1} \; + \; 6x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 3 \\8x_{1} \; + \; 12x_{2} \; — \; 9x_{3} \; = \; \lambda \end{matrix}\right.$
будет совместной?
- $\lambda$ =9
- $\lambda$ =4
- $\lambda$ =0

Литература

Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. стр 119.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. стр 101-103.

Спойлер

Определение:
Базой ненулевой системы векторов называется эквивалентная ей линейно независимая подсистема. Нулевая система базы не имеет.

Свойство 1:
База линейной независимой системы совпадает с ней самой.

Пример:
$e_{1}=<1, 0, 0>$
$e_{2}=<0, 1, 0>$
$e_{3}=<0, 0, 1>$
$<e_{1}, e_{2}, e_{3}> —$ Система линейно независимых векторов поскольку ни один из векторов не может быть линейно вырожен через остальные.

Свойство 2:(Критерий Базы)
Линейно независимая подсистема данной системы является её базой тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Доказательство:
Дана система $S=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>$
Необходимость
Пусть $S_{1}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}>$ база $S$ .
Тогда по определению $S_{1}\sim S$ и, если $S_{2}=<a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},a_{j}>$ , где $k+1\leq j\leq n$ , система линейно зависима, так как $a_{j}$ линейно вырожается через $S_{1}$ , следовательно $S_{1}$ максимально линейно независима.
Достаточность
Пусть $S_{1} —$ максимально линейно независимая подсистема, тогда $\forall a_{j}$ где $k+1\leq j\leq n$ .
$S_{2}=<a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}, a_{j}> —$ линейно зависима $\Rightarrow S_{2}$ линейно вырожается через $S_{1}\Rightarrow$ $S_{1}\sim S$ следовательно $S_{1}$ база системы $S$ .

Свойство 3:(Основное свойство базы)
Каждый вектор системы $S$ вырожается через базу единственным образом.

Доказательство
Пусть вектор $a$ вырожается через базу двумя способами, тогда:
$a=\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}$
$a=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}$ , тогда
$\alpha_{1}e_{1}+\ldots+\alpha_{k}e_{k}=\beta_{1}e_{1}+\ldots+\beta_{k}e_{k}$
$(\alpha_{1}-\beta_{1})e_{1}+\ldots+(\alpha_{k}-\beta_{k})e_{k}=0$
$\alpha_{1}-\beta_{1}=\ldots=\alpha_{k}-\beta_{k}=0\Rightarrow$ $\alpha_{1}=\beta_{2}, \ldots, \alpha_{k}=\beta_{k}$

Определение:
Рангом ненулевой системы векторов линейного пространства называется число векторов её базы. Ранг нулевой системы по определению равен нулю.

Свойства ранга:
1) Ранг линейно независимой системы совпадает с числом её векторов.
2) Ранг линейно зависимой системы меньше числа её векторов.
3) Ранги эквивалентных систем совпадают — $S_{1}\sim S_{2}\Rightarrow$ rank $S_{1}=$ rank $S_{2}$ .
4) Ранг под системы меньше либо равен рангу системы.
5) Если $S_{1}\subset S_{2}$ и rank $S_{1}=$ rank $S_{2}$ , тогда $S_{1}$ и $S_{2}$ имеют общую базу.
6) Ранг системы не изменить, если в неё добавить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.
7) Ранг системы не изменить, если из неё удалить вектор, являющийся линейной комбинацией остальных векторов.

[свернуть]

Для нахождения ранга системы векторов, нужно использовать метод Гаусса и привести систему к треугольной или трапециевидной форме.

Пример:
$a_{1}=(1, 1, 1, 1)$
$a_{1}=(1, -1, 0, 2)$
$a_{1}=(2, 2, 1, -1)$
$a_{1}=(0, 1, 3, 0)$

Преобразуем данные вектора в матрицу для нахождения базы.
Получим:
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 & 2\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Теперь при помощи метода Гаусса будем преобразоывавать матрицу к трапецеидальному виду:

1) В нашей основной матрице, будем анулировать весь первый столбец кроме первой строки от второй отнимим первую умноженную на $-1$ , от третьей отнимим первую умноженную на $-2$ , а от четвётой мы ничего не будем отнимать так как первый элемент четвёртой строки, то есть пересечение первого столбца и четвёртой строки, равен нулю. Получим матрицу $S_{2}$ :
$S_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$
2) Теперь в матрице $S_{2}$ , поменяем местами строки 2, 3 и 4 для простоты решения, что бы на месте элемента $a_{22}$ была еденица. Четвёртую строку поменяем поставим вместо второй, вторую вместо третьей и третью на место четвёртой. Получим матрицу $S_{3}$ :
$S_{3} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & -2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
3)В матрице $S_{3}$ анулируем все элементы под элементом $a_{22}$ .
Поскольку вновь элемент $a_{42}$ нашей матреци равен нулю, мы ничего не отнимаем от четвёртой строки, а к третьей добавим вторую умноженную на $2$ . Получим матрицу $S_{4}$ :
$S_{4} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
4)Вновь поменяем в матрице $S_{4}$ строки 3 и 4 местами. Получим матрицу $S_{5}$ :
$S_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 1 \end{pmatrix}$
5)В матрице $S_{5}$ прибавим к червётрой строке третью, умноженную на 5. Получим матрицу $S_{6}$ , которая будет иметь треугольный вид:
$S_{6} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & 0 & -14 \end{pmatrix}$

Системы $S_{1}\sim S_{6}$ , их ранги совпадают в силу свойств ранга и их ранг равен rank $S_{1} =$ rank $S_{6} =4$

Замечания:
1) В отличие от традиционного метода Гаусса, если в строке матрицы все элементы делятся на определённое число, мы не имеем право сокращать строку матрицы в силу действия свойств матрицы. Если мы захотим сократить строку на определённое число, придётся сокращать всю матрицу на это число.
2) В случае, если мы получим линейно зависящую строку, мы можем её убрать из нашей матрицы и заменить на нулевую строку.
Пример:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
Сразу видно что вторая строка выражается через первую, если домножить первую на 2.
В тиаком случае можем заменить всю вторую строку на нулевую. Получим:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 5 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
В итоге, приведя матрицу, либо к треугольному, либо к трапецеидальному виду, где у неё нету линейно зависящих векторов, все не нулевые векторы матрицы и будут базой матрицы, а их количество рангом.

Вот так же пример системы векторов в виде графика:
Дана система $S=<e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}>$ где $e_{1}=(1, 0)$ , $e_{2}=(0, 1)$ , $e_{3}=(2, 1)$ и $e_{4}=(1.5, 3)$ . Базой данной системы очевидно буду вектора $e_{1}$ и $e_{2}$ , поскольку через них выражаются векторы $e_{3}, e_{4}$ .
Данная система в графическом виде будет иметь вид:

Литература:

Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 52-55.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984 с. 90-99.
Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

максимум из 11 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: ранг

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Следствие:

Примеры решения задач

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Литература

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Таблица лучших: База и ранг системы векторов. Нахождение базы и вычисление ранга (приведением системы к трапециевидной форме)

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат