ряд Фурье — ПриМат

Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$ -периодическую функцию $f(x)$ . Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , где $S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$ : $\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$ Обозначим $F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$ тогда $\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

$F_n(t)$ — четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция;
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$ ;
$F_n(t) \ge 0$ ;
$\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$ .

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$ $=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , $0 < \delta < \pi$ .

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$ .

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

Спойлер

По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$ . Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$ , выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ . Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$ . Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ , то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$ , и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ , что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$ . Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$ , $\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$ . Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ .

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$ .

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$ $\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$ -периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$ . Пусть $\left| f(x) \right| < M$ . Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$ , что $\forall n > N$ выполнено неравенство $\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$ $\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$

Аналогично для всех $n > N$ : $\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$ .

Спойлер

Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$ . Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$ , $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$ , $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$ , $n = 1, 2, \ldots$ . Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$ .

[свернуть]

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Задание 1 из 5

Соотнесите выражения.

Элементы сортировки

$\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
$\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

$D_n(t) =$

$F_n(t) =$

$\sigma_n(x) =$

Задание 2 из 5

2.
Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:
- $F_n(t)$ - четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция
- $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
- $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
- $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
Задание 3 из 5

3.
Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.
- равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
- $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
- ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
Задание 4 из 5

4.
Что такое суммы Фейера?
- средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
- среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
Задание 5 из 5

5.
К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ ?

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Рассмотрим произвольную ортонормированную систему $\{ { \varphi }_{ k }\}$ в евклидовом пространстве $R$ .

Определение

Ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ называется замкнутой, если для любого $f\in R$ и для любого $\varepsilon >0$ найдется такая линейная комбинация конечного числа элементов $\{ { \varphi }_{ k }\},$ что будет верно следующее неравенство:
$\left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| <\varepsilon.$

Запишем неравенство Бесселя:
$\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } \le { \left\| f \right\| }^{ 2 },$
где ${ \{ a }_{ k }\}$ — коэффициенты Фурье элемента $f$ по некоторой ортонормированной системе.

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Если ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута для любого элемента $f\in R$ , то неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:
$\left\| \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } \right\| ={ \left\| f \right\| }^{ 2 }.$

Доказательство

Т.к. система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута — найдутся такие $n\in N$ и коэффициенты $c,\quad …\quad { c }_{ n }$ , что
${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { c }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 }.$
В силу свойства минимальности коэффициентов Фурье и следствия 1 из него имеем:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } ={ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }\le$
$\le{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ c_{ k }{ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }<{ \varepsilon }^{ 2 },$
откуда, благодаря неравенству Бесселя получаем:
$0\le { \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon }^{ 2 }$
Т.к. когда $n$ возрастает то выражение ${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }^{ 2 } }$ убывает. Отсюда имеем, что для всех номеров $m\ge n$ справедливо неравенство:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }-\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } <{ \varepsilon }^{ 2 },$
а это и означает, что
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } }.$

[свернуть]

Теорема 2

Если ортонормированная система $\{ { \varphi }_{ k }\}$ замкнута в $R$ , то для любого элемента $f\in R$ его ряд Фурье сходится к $f$ по норме пространства $R:$
$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }) } { \varphi }_{ k } \right\| } =0.$

Доказательство

Доказательство следует из теоремы 1 и следствия 1 из свойства минимальности коэффициентов Фурье. В силу равенства Парсеваля:
${ \left\| f-\sum _{ k=1 }^{ n }{ (f,{ \varphi }_{ k }){ \varphi }_{ k } } \right\| }^{ 2 }={ \left\| f \right\| }^{ 2 }-{ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } }\rightarrow 0\, ,$
$(n\rightarrow \infty ).$

[свернуть]

Определение

$\{ { \varphi }_{ k }\}$ — ортонормированная система, $f\in R$ . $\{ { \varphi }_{ k }\}$ называется полной, если из равенств $(f,{ \varphi }_{ k })=0,\quad k=\overline { 1,n }$ следует, что $f$ — нулевой элемент в $R$ .

Теорема 3

Если ортонормированная система замкнута, то она полная.

Доказательство

Пусть $\{ { \varphi }_{ k }\}$ — полная ортонормированная система, $f$ — ортогональный ко всем $\ { \varphi }_{ k }\$ . Тогда все коэффициенты Фурье элемента $f$ по системе $\{ { \varphi }_{ k }\}$ равны нулю и, в силу равенства Парсеваля:
${ \left\| f \right\| }^{ 2 }=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { (f,{ \varphi }_{ k }) }^{ 2 } } =\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ 0 } =0.$
Из аксиом нормы следует, что $f$ — нулевой элемент пространства $R.$

[свернуть]

Литература

Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Признак Дини. Следствия

Необходимые понятия

Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$ , $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$ , что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$ , $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$ .

Формула Дирихле. Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — ядро Дирихле.

Используя формулы $(1)$ и $(2)$ , запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right ) t dt$
$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t dt = 0 \quad (3)$

Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $\lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0<\delta <\pi. \quad (4)$

Сходимость ряда Фурье в точке

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$ .

Доказательство

Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $< \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$ . Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$ , получаем $\lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right )t \, dt ) = 0. \quad (5)$

Из условия Гёльдера следует, что функция $\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$ абсолютно интегрируема на отрезке $[0,\delta]$ . В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$ , где $\alpha \in (0,1]$ .

В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $[0,\delta].$

В силу леммы Римана $\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$

Из формулы $(5)$ теперь следует, что $\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$

[свернуть]

Следствие 1. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$ .

Следствие 2. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Следствие 3. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$

Признак Дини

Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$ , если

$\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$

$f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$ . Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$

тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$ , т.е. $\lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Доказательство

Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$ . И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$

Тогда имеем $S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt +$ $+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$

Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty$ равные $0$ . Рассмотрим первый интеграл: $I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt.$

В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$

Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt < \frac{\varepsilon }{\pi }.$

По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$ , где
$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$ $B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$

Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$ . Используя оценку $\left | D_n(t) \right |<\frac{\pi}{2t},$ для любого $t \in (0,\pi)$ , получаем, что $\left | (f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \right | \leq$ $\leq \frac{\pi}{2} \cdot \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}$

для всех $t \in (0, \delta)$ .

Поэтому $A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt< \frac{\varepsilon }{2}.$

Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty$ . Для этого введем функцию $\Phi (t)=\left\{\begin{matrix} \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0< \delta \leq t \leq \pi, \\ 0, -\pi\leq t< \delta . \end{matrix}\right.$

$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t\,dt.$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$ , а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$ , что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)| < \varepsilon$ , т.е. $\lim\limits_{n \to \infty }I_n(x_0)=0.$

Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty$ .

[свернуть]

Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$ , то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Пример 1

На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0), \\ 0, x=0. \end{matrix}\right.$

Исследовать сходимость полученного ряда.

Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$ , график которой изображен на рисунке.

Так как функция $f(x)$ нечетна, то $a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$

$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$ $=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$ $=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$

$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$

Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$

Так как ${f}'(x)$ существует при $x\neq k \pi$ , то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$ , $x\neq k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}.$

В точках $x=k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.

Полагая $x=\frac{\pi}{2}$ , получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$ .

[свернуть]

Пример 2

Найти ряд Фурье следующей $2\pi$ -периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln | \sin \frac{x}{2}|$ , $x \neq 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , и исследовать на сходимость полученного ряда.

Так как ${f}'(x)$ существует при $x \neq 2k \pi$ , то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$ . Имеем $\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$ $= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$ $= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$ откуда $a_0= \pi \ln 2$ .

Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$ . Имеем $\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$ $= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix} D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$

Здесь $D_n(x)$ - ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$ . Таким образом, $-\ln | \sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Тест по материалу данной темы:

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?
- $f(x_0)$
- $f(x_0+0)+f(x_0-0)$
- $\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}$
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$ ?
- $\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}$
- $\frac{f(x_0-0)-f(x_0+0)}{2}$
- $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Какие коэффициенты будут равны нулю, если функция $f(x)$ — четная?

Элементы сортировки

$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx dx =0$
$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0$

Если функция

$f(x)$ - четная

Если функция

$f(x)$ - нечетная

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Каковы условия сходимости функции $f$ к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ ?
- Если функция удовлетворяет условию Гёльдера
- Если функция $2 \pi$ -периодическая
- Если существует предел частичных сумм ряда Фурье, равный 0
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенное слово
- Для сходимости к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$ ряда Фурье, необходимо, чтобы функция удовлетворяла (условию Гёльдера).

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: ряд Фурье

Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Доказательство

Теорема (Фейера).

Доказательство.

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Замкнутые и полные ортонормированные системы

Определение

Теорема 1 (равенство Парсеваля)

Теорема 2

Определение

Теорема 3

Литература

Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Признак Дини. Следствия

Необходимые понятия

Сходимость ряда Фурье в точке

Признак Дини

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат