7.2 Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Пусть $f$ — ограничена на отрезке $[a,b]$ функция. Выберем произвольное разбиение этого отрезка $\prod$ : $a = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n} = b$ и обозначим $\displaystyle M_{i}=\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x \right ), m_{i}=\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f \left ( x \right ) \left ( i= \overline{0,n-1}\right ).$

Сумма $\bar S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}$ называется для функции $f$ , соответствующей разбиению $\prod$ , а сумма
$\underline S_{\prod} = \sum_{i=0} ^ {n-1} m_{i} \Delta x_{i}$ называется , соответствующего разбиению $\prod$ .

Очевидно, что $\underline S_{\prod} \leqslant \overline {S_{\prod}}$ , и любая интегральная сумма $\sigma$ , соответствующая разбиению $\prod$ , удовлетворяет неравенству $\begin{equation}\label{eq:exp1} \underline S_{\prod} \leqslant \sigma \leqslant \overline {S_{\prod}}. \end{equation}$

Действительно, при любом выборе точек $\xi_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ из определения $m_{i}$ и $M_{i}$ получаем $m_{i} \leqslant f \left (\xi _{i}\right ) \leqslant M_{i}$ . Умножив это неравенство на $\Delta x_{i}$ и сложив по $i$ , получаем $\eqref{eq:exp1}$ .

Если функция $f$ непрерывна на $[a,b]$ , то на каждом из частичных отрезков $[x_{i},x_{i+1}]$ она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, т.е. точки $\xi_{i}$ и $\eta_{i}$ можно выбрать так, чтобы были выполнены равенства $f \left (\xi_{i}\right ) = m_{i}$ и $f \left (\eta_{i}\right )= M_{i}$ . Поэтом в этом случае суммы Дарбу сами являются интегральными суммами. Однако справедливо следующее

Для произвольной ограниченной функции $f$ и заданного разбиения $\prod$ верхняя и нижняя суммы Дарбу сами являются соответственно верхней и нижними гранями множества всех интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению $\prod$ .

Действительно,зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь определением верхней грани, для каждого $i=\overline{0,n-1}$ найдем такие $\eta_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ , что $f\left (\eta_{i}\right ) > M_{i} — \varepsilon$ . Тогда получим $\sigma =\sum_{i=0}^{n-1} f\left ( \eta_{i}\right ) \Delta x_{i} > \sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}-\varepsilon \left (a-b\right ) = \bar S_{\prod}-\varepsilon \left (a-b\right ).$
Отсюда следует, что $\bar S_{\prod}= \sup\left (\sigma\right )$ , где верхняя грань берется по множеству всевозможных интегральных сумм, соответствующих заданному разбиению $\prod.$
Доказательство для нижней суммы Дарбу аналогично.

Свойства сумм Дарбу

1. Если к имеющимся точкам разбиения добавить новые точки, то от этого верхняя сумма Дарбу не увеличится, а нижняя сумма Дарбу не уменьшится

Пусть имеется изначально разбиение $\prod$ . Достаточно показать рассмотреть случай, когда к имеющимся точкам добавляется одно точка $x{}’_{i} \in [x_{i},x_{i+1}]$ , в результате чего получаем новое разбиение $\prod{}’$ . Тогда суммы $\bar S_{\prod}$ и $\bar S_{\prod {}’}$ содержат одни и те же слагаемые, за исключением слагаемых, отвечающие отрезку $[x_{i},x_{i+1}]$ . В сумме $\bar S_{\prod}$ этому отрезку отвечает слагаемое $M_{i}\left (x_{i+1} -x_{i}\right )$ , а в сумме $\bar S_{\prod {}’}$ ему соответствуют два слагаемых $M{_{i}}’\left (x{}’-x_{i}\right )+M_{i}{}'{}’ \left (x_{i+1}-x_{i}\right )$ , где $M{_{i}}’=\underset{\displaystyle x_{i} \leqslant x \leqslant x{}’}{\sup} f\left (x\right )$ , $M_{i}{}'{}’=\underset{\displaystyle x{}’ \leqslant x \leqslant x_{i+1} }{\sup} f\left (x\right )$ . Ясно, что $M{_{i}}’ \leqslant M_{i}$ . и $M_{i}{}'{}’ \leqslant M_{i}$ . Поэтому $M{_{i}}’\left (x{}’ -x_{i}\right ) + M_{i}{}'{}’ \left (x_{i+1} -x{}’\right ) \leqslant M_{i}\left (x_{i+1} -x_{i}\right )$ , так что и $\bar{S_{\prod {}’}} \leqslant \bar{S_{\prod}}$ .
Для нижних сумм доказательство аналогичное.

2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, даже если они соответствуют разным разбиениям

Пусть $\prod_{1}$ , $\prod_{2}$ — произвольные разбиения отрезка $[a,b].$ Докажем, что $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ . Объединяя точки разбиений $\prod_{1}$ и $\prod_{2}$ , получим новое разбиение $\prod$ , причем, поскольку $\prod_{1}$ может быть получено из $\prod_{1}$ путём добавления к $\prod_{1}$ новых точек деления, то, в силу предыдущего свойства, имеем $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \underline S_{\prod}$ . С другой стороны, разбиение $\prod$ может быть получено из $\prod_{2}$ путем добавления к $\prod_{2}$ новых точек деления, так, что, в силу предыдущего свойства, $\bar S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ . Объединяя эти два неравенства и учитывая, что $\underline S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod}$ , получаем $\underline S_{\prod_{1}} \leqslant \bar S_{\prod_{2}}$ .

Интегралы Дарбу.

Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$ , т.е. $\left | f\left (x\right ) \right |\leqslant M$ , $a\leqslant x\leqslant b$ . Тогда для любого разбиения $\prod$ справедливы неравенства $\left |\bar S_{\prod} \right | \leqslant M\left (b-a\right )$ и $\left |\underline S_{\prod} \right | \leqslant M\left (b-a\right )$ . Это означает, что множества всевозможных верхних и нижних сумм Дарбу являются ограниченными.

Верхняя грань множества всевозможных нижних сумм Дарбу называется $f$ и обозначается $\underline I = \sup_{\prod} {\underline S_{\prod}}$ . Нижняя грань множества всевозможных верхних сумм Дарбу называется и обозначается $\bar I = \inf_{\prod} {\bar S_{\prod}}$ .

Связь между верхним и нижним интегралами устанавливает

Для любой ограниченной функции $f$ справедливо неравенство $\underline I \leqslant \bar I.$

Как было показано выше,каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, т.е. для любых двух разбиений $\prod$ и $\prod{}’$ справедливо неравенство $\underline I \leqslant \bar I.$ Переходя к верхней грани по всевозможным разбиениям $\prod$ , получаем $\underline I \leqslant \bar S_{\prod{}’}$ . Поскольку в полученном неравенстве разбиение $\prod{}’$ произвольное, то переходя к нижней грани по всевозможным разбиениям, получим $\underline I \leqslant \bar I$ .

Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке $[0,1]$ . Для нее, очевидно, при любом разбиении $\prod$ будет $\underline S_{\prod} = 0$ , так что и $\underline I = 0$ . С другой стороны, $\bar S_{\prod} = 1$ , так что $\bar I = 1$ .

Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$ . Для того чтобы $f$ была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0}\left (\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod}\right ) = 0$
Это равенство означает, что для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное
$\delta$ , что для каждого разбиения $\prod$ , диаметр которого $d\left (\prod\right )<\delta$ , справедливо неравенство $\bar S_{\prod} - \underline S_{\prod} < \varepsilon.$

Пусть функция $f$ интегрируема, т.е. существует конечный $I\equiv\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0}\sigma$
Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$ , что для любого разбиения $\prod$ с $d\left (\prod\right ) < \delta$ и при любом выборе промежуточных точек $\xi _{i}$ выполнено неравенство $\left | \sigma -I \right | < \varepsilon$ . Это неравенство можно переписать так: $I-\varepsilon <\sigma < I + \varepsilon$ . Зафиксируем произвольное разбиение $\prod$ с $d\left (\prod\right ) < \delta$ . Поскольку $\bar S_{\prod}$ - верхняя грань множества всех интегральных сумм $\sigma$ , соответствующих разбиению $\prod$ , и $\sigma < I +\varepsilon$ , то $\bar S_{\prod} \leqslant I +\varepsilon$ . Аналогично получаем $\underline S_{\prod} \geq I - \varepsilon$ . Таким образом, $I - \varepsilon \leqslant \underline S_{\prod} \leqslant \bar S_{\prod} \leqslant I + \varepsilon$ . Отсюда следует, что $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} \leqslant 2\varepsilon$ , если только $d\left (\prod\right ) < \delta.$

Заметим, что для любого разбиения $\prod$ справедливо неравенство $\underline S_{\prod}\leqslant \underline I\leqslant \bar I \leqslant \bar S_{\prod}$ . Поскольку, по условию, $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} \rightarrow 0$ при $d\left (\prod\right ) \rightarrow 0$ , то $\bar I = \underline I$ . Обозначим их общее значение через $I$ . Тогда получим, что для любого разбиения $\prod$ имеет место неравенство $\underline S_{\prod} \leqslant I \leqslant \bar S_{\prod}$ . Но и каждая интегральная сумма $\sigma$ , отвечающая разбиению $\prod$ , также удовлетворяет неравенству $\underline S_{\prod} \leqslant \sigma \leqslant \bar S_{\prod}$ . Отсюда следует, что $\left | \sigma -I\right |\leqslant \bar S_{\prod} -\underline S_{\prod}$ . Поскольку правая часть последнего неравенства стремится к нулю при $d\left (\prod\right ) \rightarrow 0$ , то получаем $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0} \sigma = I$

Замечание. Из доказательства необходимости видно, что для интегрируемой функции ее верхняя и нижняя суммы Дарбу стремятся к интегралу от функции при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Для ограниченной на отрезке $[\alpha, \beta ]$ функции $\varphi$ число $\omega = \sup \left | \varphi \left (x{}’\right ) — \varphi \left (x{}'{}’\right ) \right |,$ где $x{}’, x{}'{}’ \in [\alpha,\beta ]$ , называется $\varphi$ на $[\alpha, \beta ]$ .

Обозначим $M_{i}=\underset{\displaystyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta }{\sup} \varphi \left (x\right )$ и $m_{i} =\underset{\displaystyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta }{\inf} \varphi \left (x\right )$ . Тогда, как легко видеть, $\omega = M_{i} -m_{i}$
Пусть теперь ограниченная функция $f$ задана на отрезке $[a,b]$ . Тогда для произвольного разбиения $\prod$ колебание $f$ на $[x_{i},x_{i+1}]$ равно $\omega = M_{i}- m_{i}$ . Поэтому $\bar S_{\prod} -\underline S_{\prod} = \sum_{i=0}^{n-1}\left (M_{i} -m_{i}\right )\Delta x = \sum_{i=0}^{n-1}\omega _{i}\Delta x.$

Таким образом, равносильная формулировка критерия интегрируемости примет следующий вид.

Для того чтобы ограниченная функция $f$ была интегрируемой по Риману на отрезке $[a,b]$ , необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство $\lim_{d\left (\prod\right )\rightarrow 0} \sum_{i=0}^{n-1} \omega_{i}\Delta x_{i} = 0,$ где $\omega _{i}$ — колебание функции $f$ на отрезке $[x_{i}, x_{i=1}]$ .

Пример решения задачи

Дан интеграл $I=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1+x^{5}}dx$ . Выполнить равномерное разбиение на отрезке $\left [ 0, 1 \right ]$ на 6 частей. Построить верхнюю и нижнюю суммы Дарбу.

Решение

График функции $f\left (x\right )=\sqrt{1+x^{5}}$ .

Докажем, что функция монотонна.
Для этого возьмем производную данной функции
$\displaystyle f{}’\left (x\right )=\frac{\displaystyle 5x^{4}}{\displaystyle 2\sqrt{1+x^{5}}}$ . Так как мы рассматриваем промежуток $\left ( 0, 1 \right )$ , то на этом участке $x^{5} > 0$ , $x^{4} > 0$ (так как степень четная ). Получили, что $f{}’\left (x\right ) > 0$ . Следовательно, $f\left (x \right )$ монотонно возрастает, тогда $\underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$
расположен на правом конце, а $\underset{\displaystyle x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ - на левом конце.
Построим верхнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
$\bar S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} M_{i} \Delta x_{i}$
$M_{1}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1;$
$M_{2}= \displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,002;$
$M_{3}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,015;$
$M_{4}= \displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,064;$
$M_{5}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,184;$
$M_{6}=\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\sup} f\left (1\right )$ $\approx 1,414;$
$\bar S_{\prod} =\left (1+1,002+1,015+1,064+1,184+1,414\right )\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = 1.113;$

Построим нижнюю сумму Дарбу:
Найдем значения с точностью 0,001
$\underline S_{\prod} =\sum_{i=0}^{n-1} m_{i} \Delta x_{i}$
$m_{1}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (0\right ) = 1;$
$m_{2}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1;$
$m_{3}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,002;$
$m_{4}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,015;$
$m_{5}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,064;$
$m_{6}$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (x\right )$ = $\displaystyle \underset{\displaystyle x_{i}\leqslant x \leqslant x_{i+1}}{\inf} f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6}\right )$ $\approx 1,184;$
$\underline S_{\prod} =\left (1+1+1,002+1,015+1,064+1,184\right )\cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = 1.044;$

$f\left (0\right )=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1;$
$f \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+ \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.0001286008} \approx 1;$
$f \left (\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+ \left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.00411} \approx 1.002;$
$f \left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.03125} \approx 1.015;$
$f \left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.1316872428} \approx 1.064;$
$f\left (\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 6} \right )=\sqrt{1+\left (\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\right ) ^{5}}=\sqrt{1.401877572} \approx 1.184;$
$f \left (1\right )=\sqrt{1+1^{5}}=\sqrt{2} \approx 1.414;$

Основным источником является учебник В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу». — Одесса: Астропринт, 2009, ч.1, раздел 7.2 «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу».(стр. 181 — 186)

Информацию по теме «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу» вы можете также найти в следующих учебниках:

Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Суммы Дарбу и их свойства

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция $f\left(x\right)$ — ограничена на $\left[a;b\right]$ и существует разбиение этого отрезка $T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ . Это значит, что $f$ — ограничена на любом $\triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right],$ $i =\overline{1,n}$ . Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса, $\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)},$ $\exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},$ $i=\overline{1,n}$ .

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка $[a;b]$ на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки $\xi _{i}$ так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале $\triangle _{i}$ разбиения T точку $\xi _{i}$ будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота $f\left(\xi _{i}\right)$ была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция $\inf f(x)$ : $m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}.$ Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов $\triangle _{i}$ разбиения T мы выбираем точку $\xi _{i}$ так, чтобы значение $f\left(\xi _{i}\right)$ было максимальным: $M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}$ . Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.

Определение

$\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}$ — верхняя сумма Дарбу

$\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}$ — нижняя сумма Дарбу

Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек $\xi _{i}.$

Свойства сумм Дарбу

Свойство $1^{\circ}$ .

Для любой выборки $\xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}$ и разбиения $T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ справедливы неравенства: $s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}$ . (*)

Спойлер

$\square$ Так как $\forall\xi _{i}\in \triangle _{i}$ выполняются неравенства $m_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\leq M_{i}$ . Домножим все части на $\triangle x_{i}$ .

$m_{i}\triangle x_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}\leq M_{i}\triangle x_{i},i=\overline{1,n}$

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

$\underset{s_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}}\leq\underset{\sigma _{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}}}\leq \underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}}$ (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы $\sigma _{T}$ утверждения (*) и (**) равносильны. $\blacksquare$

[свернуть]

Свойство $2^{\circ}$ .

При T — фиксированном, справедливы равенства: $S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right),$ $s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right)$ .

Спойлер

$\square$ Докажем первое равенство. Необходимо показать, что $S_{T}$ — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы (см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее: $\forall \varepsilon > 0 \exists {\xi }'$ : $S_{T}-\varepsilon < \sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)$ . (*)

Т.к. $M_{i}=\underset{x\in \triangle_{i}}{\sup f\left(x\right)}$ , то

$\forall \varepsilon > o \ \exists\ {\xi }’_{i}\in \triangle _{i}$ :

$M_{i}-\frac{\varepsilon }{b-a}< f\left({\xi _{i}}’\right)$

$0<M_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)< \frac{\varepsilon }{b-a}, i=\overline{1,n}$

Домножим на $\triangle x_{i}$ :

$0\leq M_{i}\triangle x_{i}-f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}< \frac{\varepsilon}{b-a}\triangle x_{i}$

Просуммируем i- ые элементы:

$0\leq\underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} M_{i}\triangle x_{i}}}-\underset{\sigma _{T}\left({\xi _{i}}’,f\right)}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left({\xi _{i}}’\right)\triangle x_{i}}}<$ $\underset{\varepsilon }{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b-a}\triangle x_{i}}}$

$0\leq S_{T}-\sigma _{T}\left({\xi }’,f\right)< \varepsilon$ (**)

Неравенства (*) и (**) равносильны.

Вывод: получили, что $S_{T}$ — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы $\Rightarrow S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)$ .

Аналогично доказывается второе утверждение. $\blacksquare$

[свернуть]

Определение

Назовём разбиение $T_{2}$ продолжением (измельчением) разбиения $T_{1}$ , если каждая точка разбиения $T_{1}$ является точкой разбиения $T_{2}$ . Иначе говоря, разбиение $T_{2}$ либо совпадает с разбиением $T_{1}$ , либо получено из $T_{1}$ добавлением по крайней мере одной новой точки.

Свойство $3^{\circ}$ .

Если разбиение $T_{2}$ — продолжение разбиения $T_{1}$ , то $s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}$ (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Спойлер

$\square$ Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда разбиение $T_{2}$ получается из $T_{1}$ добавлением только одной точки ${x}’\in \left(x_{i-1};x_{i}\right)$ . Пусть ${\triangle _{i}}’=\left[x_{i-1};{x}’\right]$ и ${\triangle_{i}}»=\left[{x}’;x_{i}\right]$ — отрезки, на которые точка ${x}'$ разбивает отрезок $\triangle _{i}$ , а $\lambda _{1}={x}’-x_{i-1}$ и $\lambda _{2}=x_{i}-{x}'$ — длины этих отрезков.

Обозначим ${m_{i}}’=\underset{x\in {\triangle _{i}}’}{\inf f\left(x\right)},$ ${m_{i}}»=\underset{x\in {\triangle _{i}}»}{\inf f\left(x\right)}, {m_{i}}=\underset{x\in {\triangle _{i}}}{\inf f\left(x\right)}$ . Очевидно,что ${m_{i}}’\geq m_{i},$ ${m_{i}}»\geq m_{i}$ . В суммах $s_{T_{2}}$ и $s_{T_{1}}$ равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком $\triangle _{i}$ . Поэтому:

$s_{T_{2}}-s_{T_{1}}={m_{i}}’\lambda _{1}+{m_{i}}»\lambda _{2}-m_{i}(\lambda _{1}+\lambda _{2})=$ $\left({m_{i}}’-m_{i}\right)\lambda _{1}+({m_{i}}»-m_{i})\lambda _{2}\geq 0\Rightarrow$ $s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}$

Аналогично доказывается неравенство $S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}$ . Отсюда, используя неравенство $s_{T}\leq S_{T}$ (доказанное в свойстве 1), получаем цепочку неравенств (*). $\blacksquare$

[свернуть]

При добавлении точки $x'$ в разбиение $T$ верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Свойство $4^{\circ}$ .

Для любых разбиений ${T}'$ и ${T}»$ справедливо неравенство $s_{{T}’}\leq S_{{T}»}$ .

Спойлер

$\square$ Пусть разбиение $T$ является продолжением как разбиения ${T}'$ , так и разбиения ${T}»$ . Из неравенств, доказанных в прошлом пункте, получаем следующее:

$s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}$
$S_{T}\leq S_{{T}»}$

В итоге: $s_{{T}’}\leq s_{T}\leq S_{T}\leq S_{{T}»}$ , откуда следует $s_{{T}’}\leq S_{{T}»}.$ $\blacksquare$

[свернуть]

Свойство $5^{\circ}$ .

Существуют числа $\underline{I}=\sup s_{T},$ $\bar{I}=\inf S_{T},$ называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений ${T}’,{T}»$ отрезка $\left[a;b\right]$ : $s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}$

Спойлер

$\square$ Из неравенства, доказанного в 4 свойстве, по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует $\underline{I}=\sup s_{T}$ и $\underline{I}=\inf S_{T}$ (супремум и инфимум) такие, что для всевозможных разбиений отрезка $\left[a;b\right]$ и для любых разбиений ${T}’,{T}»$ выполняется неравенство: $s_{{T}’}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}»}}$ $\blacksquare$

[свернуть]

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке $\left[a;b\right]$ функции.

Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции $f\left(x\right)=x^{3}$ на отрезке $\left[-2;3\right]$ , соответствующие разбиению этого отрезка на $n$ равных частей.

Спойлер

В этом случае $\triangle x_{i}=\frac{5}{n},$ $x_{i}=-2+\frac{5i}{n},$ $i=\overline{1,n}$ . В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает наименьшего $m_{i}=x_{i-1}^{3}$ и наибольшего $M_{i}=x_{i}^{3}$ значений на левом и правом концах частичного отрезка $\left[x_{i-1};x_{i}\right]$ соответственно. Согласно формулам, находим:

$s_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(-2+5\frac{i-1}{n})^{3},$ $S_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(-2+\frac{5i}{n}\right)^{3}$

Принимая во внимание, что $\sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2},$ $\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6},$ $\sum\limits_{i=1}^{n}i^{3} =\left(1+2+…+n\right)^{2}$ , в итоге получаем:

$s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n} + \frac{125}{4n^{2}},$ $S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}$

Ответ: $s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}},$ $S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}$

[свернуть]

Пример 2

Для интеграла $\int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx$ найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка $\left[0;\pi\right]$ на 3 равные части.

Спойлер

На отрезке $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ функция $\sin x$ монотонно возрастает и поэтому для этого отрезка имеем $m_{0}=\sin 0=0,$ $M_{0}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

На отрезке $\left[\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\right]$ наименьшим значением функции является $m_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , а наибольшим $M_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ .

На отрезке $\left[\frac{2\pi }{3};\pi\right]$ функция монотонно убывает, и поэтому:

$m_{2}=\sin \pi =0,$ $M_{2}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Т.к. все $\triangle x_{i}$ равны $\frac{\pi }{3}$ , то

$s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=$ $\frac{\pi \sqrt{3}}{6}$

$S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=$ $\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}$

Ответ: $s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=\frac{\pi \sqrt{3}}{6},$ $S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=$ $\frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}$

[свернуть]

Литература:

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

Тест по теме

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1

2

3

4

5

Информация

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

Ваш результат

Рубрики

Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место Имя Записано Баллы Результат

Таблица загружается

Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:
Капча:

1

2

3

4

5

С ответом

С отметкой о просмотре

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1

Первый замечательный предел :

Не существует замечательных пределов.

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} = 0$

Правильно

Неправильно

Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1

Признаки сходимости числовых рядов :

признак Даламбера

признак Коши

признак Дарбу

признак Лейбнеца

Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 1

Продолжите предложение:

Свойства сумм Дарбу справедливы для любой функции,..

Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1

Установите соответствие

Элементы сортировки

Верхняя сумма Дарбу

Не увеличивается

Нижняя сумма Дарбу

Увеличивается

Минимальный предел верхних границ для интегральной суммы

При дроблении отрезка верхняя сумма Дарбу

Правильно

Неправильно

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1

Если каждая точка разбиения $T_{1}$ является точкой разбиения $T_{2}$ , то разбиение $T_{2}$ называется_____________________ разбиения $T_{1}$

(продолжением)

Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Свойства сумм Дарбу

Интегралы Дарбу.

Пример решения задачи

Информацию по теме «Суммы Дарбу и интегралы Дарбу» вы можете также найти в следующих учебниках:

Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Элементы сортировки

7.

Подсказка

8.

9.

10.

Таблица лучших: Суммы Дарбу и интегралы Дарбу

Суммы Дарбу

Определение

Замечание

Свойства сумм Дарбу

Свойство 1∘1^{\circ}.

Свойство 2∘2^{\circ}.

Свойство 3∘3^{\circ}.

Замечание

Пример 1

Пример 2

Тест по теме

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: Тест по теме

Свойство $1^{\circ}$ .

Свойство $2^{\circ}$ .

Свойство $3^{\circ}$ .