Определение

Последовательность $latex \left \{ x_{n} \right \} $ называется бесконечно большой, если $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $, или $latex \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty $.

Геометрическая интерпретация

Назовем $latex \varepsilon $-окрестностью точки $latex \infty $ множество $latex E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\} $.
Введем множества $latex E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\} $ и $latex E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\} $. Назовем эти множества $latex \varepsilon $-окрестностями точек $latex -\infty $ и $latex \infty $ соответственно. Тогда $latex E=E_{1}\cup E_{2} $.

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

• Если $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера $latex n $ определена последовательность $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \} $, которая является бесконечно малой.
• Если все элементы бесконечно малой последовтельности $latex \left \{ \alpha_{n}\right \} $ отличны от нуля, то последовательность $latex \left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \} $ — бесконечно большая.

Доказательство.

• Пусть $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая последовательность, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $. Это означает, что при $latex n\geq N_{\varepsilon} $ все элементы $latex x_{n}\neq 0 $, поэтому последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} $ имеет смысл с номера $latex N_{\varepsilon} $.
  Пусть $latex A $ — любое положительное число, тогда для числа $latex \frac{1}{A}$ $latex \exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A$, что по определению означает, что последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} $ — бесконечно малая.
• Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

1. Пусть $latex \left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\} $ — бесконечно большие последовательности.
   По определению:
   $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon $.
   Тогда для последовательности $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $:
   $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
2. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая, $latex \left\{y_{n}\right\} $ — ограниченная. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $ и $latex \exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C $.
   Рассмотрим $latex \left|x_{n}+y_{n}\right| $:
   $latex \left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $
   (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
   Получили: $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
3. Доказательство аналогично предыдущему.
4. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая, $latex C \neq 0 $ — константа. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $.
   Рассмотрим $latex \left|x_{n}\cdot C\right| $:
   $latex \left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0 $ (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
   $latex C $ — константа, $latex \Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\} $ — также константа, т.е. ограниченная.
   $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
   (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

1. Последовательность $latex \left\{n\right\} $ является бесконечно большой, т.к. $latex \forall\varepsilon\>0\;\exists N=\left[\varepsilon\right]+1:\;\forall n\geq N\;n>\varepsilon $.
2. Последовательность $latex \left\{\frac{n^2}{n+1}\right\} $ является бесконечно большой, т.к. $latex \frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{\infty}{1+0}=\infty $.
3. $latex \frac{n}{\left(\cos n\right)^2}=n\cdot\frac{1}{\left(\cos n\right)^2} $ — бесконечно большая, т.к. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n=\infty $, а $latex \frac{1}{\left(\cos n\right)^2} $ — ограниченная, сохраняющая знак.
4. $latex \left\{-\sqrt{n}\right\} $
   Выберем произвольное число $latex \varepsilon>0:\;-\sqrt{n}\leq-\varepsilon;\; N>\varepsilon^2 $. Получили: $latex \forall\varepsilon>0\;\exists N=\left[\varepsilon^{2}+1\right]:\,\forall n\geq N\;\; -\sqrt{n}<-\varepsilon $, т.е. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\sqrt{n}\right)=-\infty $.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу,М.,1969. стр.15-17
• Свойства бесконечно малых последовательностей
• Основные свойства бесконечно больших последовательностей

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 8 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

Информация

Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 8

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 8

   1.

   Является ли последовательность $latex \left\{\frac{1}{3^n}\right\} $ при $latex n\rightarrow\infty $ бесконечно малой?
   

   • Да.
   • Нет.
   • Не знаю или затрудняюсь ответить.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 8

   2.

   Сформулировать с помощью кванторов:
   $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_{n}=-\infty $
   

   • $$ \forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\left | x_{n} \right |<\varepsilon $$
   • $$ \forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\,\; x_{n} <\varepsilon $$
   • $$ \forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, \left | x_{n} \right | <-\varepsilon $$
   • $$ \forall \varepsilon>0\;\exists N:\forall n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon $$
   • $$ \exists\varepsilon>0\;\forall N:\exists n\geq N\;\, x_{n}<-\varepsilon $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 8

   3.

   Дополните определение.
   

   • Последовательность $ \alpha_n $ называется (бесконечно) (малой), если ее предел при $ n\rightarrow\infty $ равен $ 0 $.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 8

   4.

   Какие из перечисленных свойств относятся к свойствам бесконечно малых последовательностей?
   

   • Бесконечно малая последовательность ограничена.
   • Отношение бесконечно малой последовательности к ограниченной есть бесконечно большая последовательность.
   • Последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда она является ограниченной.
   • Если элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу $ C $, то $ C=0 $ .
   • Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
   • Любая бесконечно малая последовательность монотонна.
   • Если последовательность $ \left\{\alpha_n\right\} $ - бесконечно малая, то последовательность $ \left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\} $ - также бесконечно малая.
   • Если последовательность $ \left\{\alpha_n\right\} $ - бесконечно малая, то последовательность $ \left\{\frac{1}{\alpha_n}\right\} $ - ограниченная.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 8

   5.

   Какие из следущих последовательностей бесконечно малые?
   

   • $$ \left\{\frac{1}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty $$
   • $$ \left\{\frac{n}{\ln n}\right\},\;n\rightarrow\infty $$
   • $$ \left\{\frac{\sin^2 n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty $$
   • $$ \left\{\frac{e^n}{n}\right\},\;n\rightarrow\infty $$
   • $$ \left\{\sqrt[n]{a}\right\},\;n\rightarrow\infty $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 8

   6.

   Сформулируйте теорему о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.
   Если $latex \left\{x_n\right\} $ — ____________________ _________________ последовательность, то начиная с некоторого номера $latex n $ определена последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_n}\right\} $, которая является бесконечно малой.

   • (бесконечно) (большая)
   Правильно
   

   Неправильно
   
7. Задание 7 из 8

   7.

   Расставьте последовательности согласно их свойствам.
   

   Элементы сортировки

   • $$ \left\{\frac{1}{n!}\right\} $$
   • $$ \left\{\frac{2^n}{n^2}\right\} $$
   • $$ \left\{\sin{\frac{n!}{2^n}}\right\} $$

   • Бесконечно малая последовательность

   • Бесконечно большая последовательность

   • Ограниченная последовательность (не является ни бесконечно малой, ни бесконечно большой)

   Правильно
   

   Неправильно
   
8. Задание 8 из 8

   8.

   Сформулируйте свойство бесконечно малых последовательностей.
   Любая бесконечно малая последовательность …
   Правильно
   

   Неправильно
   

Бесконечно малые последовательности

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность $latex \left \{ \alpha_{n} \right \} $ называется бесконечно малой, если $latex \lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0 $, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon $.

Геометрическая интерпретация

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
2. Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
4. Если элементы бесконечно малой последовательности $latex \left\{\alpha_{n}\right\} $ равны одному и тому же числу $latex C $, то $latex C=0 $.

Доказательство.

1.  Пусть $latex \left\{ \alpha_{n}\right\} $ — бесконечно малая последовательность, $latex \varepsilon $ — некоторое положительное число. Пусть $latex N $ — номер, такой, что $latex \forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon $. Обозначим $latex \max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \} $ числом A. Получим:$latex \forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,…\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A $, что и означает, что последовательность ограничена.
2. Пусть $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ и $latex \left\{ \beta_{n} \right\} $ — бесконечно малые последовательности. Пусть $latex \varepsilon $ — произвольное положительное число, $latex N_{1} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $, а $latex N_{2} $ — номер, начиная с которого $latex \left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2} $. Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей $latex \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right| $. Обозначим через $latex N $ наибольший из номеров <$latex N_{1} $ и $latex N_{2} $. Получим: $latex \forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\} $ — бесконечно малая.
3. Пусть последовательность $latex \left\{ \alpha_{n} \right\} $ — бесконечно малая, а $latex \left\{ x_{n} \right\} $ — ограниченная. По определению,  $latex \exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c $ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c} $. По свойству модулей, $latex \left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon $. Получили:$latex \forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon $, а это означает по определению, что последовательность $latex \left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\} $  — бесконечно малая.
   Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
4. Пусть $latex C\neq 0 $. Тогда для $latex \varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2} $. По условию, $latex \alpha_{n}=C $, тогда $latex C<\frac{\left|C\right|}{2} $. Получили противоречие, следовательно, $latex C=0 $.

Примеры

1. Последовательность $latex \frac{1}{n} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\;\exists N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1:\;\forall n\geq N\;\;\frac{1}{n}<\varepsilon $.
2. $latex \frac{\sin n}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sin n $  — бесконечно малая, т.к. $latex \sin n $ — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 $.
3. $latex \frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}=\frac{1}{n}\cdot\left(-1 \right )^{n} $ — бесконечно малая, т.к.$latex \left(-1 \right )^{n} $  — ограниченная, а $latex \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 $.
4. $latex \sin\frac{1}{n} $ — бесконечно малая при $latex n\rightarrow\infty $, т.к. $latex \forall\varepsilon>0\;\sin\frac{1}{n}<\varepsilon $ при $latex n>\frac{1}{\arcsin{\varepsilon}} $.
5. $latex \frac{n}{n^2+1} $ — бесконечно малая, т.к. $latex \frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} $, которая является бесконечно малой.

Бесконечно малые последовательности и их свойства

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

• Спасибо за прохождение теста!

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Любая бесконечно малая последовательность

   • ограничена
   • неограничена
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   [latex]\lim\limits_{n \to \infty } \frac{100*n^2}{n^3+1}=[/latex]

   • $$0$$
   • $$1$$
   • $$\infty $$
   • $$- \infty $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить последовательности и их [latex] \lim\limits_{n \to \infty }:[/latex]

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$1$$
   • $$\infty$$

   • $$\frac{1}{n^2} $$

   • $$1 + sin\frac{12n^2+144n+17}{n^3} $$

   • $$n+tg \frac{1}{n} $$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
• В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, часть 1, М.:Наука, 1982. стр. 60-63.
• Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.М., 1969. стр. 14-17
• Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях
• Свойства бесконечно малых последовательностей

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]