- Утверждение 1
- Утверждение 2
- Утверждение 3
- Утверждение 4
- Утверждение 5
- Утверждение 6
- Утверждение 7
- Утверждение 8
- Тест
- Источники
Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
Рассмотрим многочлен степени n, т. е. функцию вида
Pn(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0, an≠0.
Эта функция непрерывна на R.
Рациональная функция, т. е. функция вида f(x)=Pn(x)Qm(x), где Pn(x),Qm(x) — многочлены степени n и m соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена Qm(x).
Если x∈(—π2,π2) и x≠0, то cosx<sin xx<1 (1).
Из неравенства(2)следует, что tg x>x при x∈(0,π2) (3).
Для всех x∈Rсправедливо неравенство
|sinx|⩽|x| (4).
Функции y=sinx и y=cosx непрерывны на всем множестве R.
Функция tg x=sinxcosx — непрерывная при x≠π2+πk,k∈Z
Рассмотрим несколько функции с их графиками
Тогда по теореме существуют обратные непрерывные монотонные функции соответственно
Функция y=ax, a>0, a≠1 — монотонна непрерывна на R, то есть
∀x∈R limx→x0ax=ax0
и тогда функция y=logax — монотонна и непрерывна(как обратная)
Функции, заданные формулами
sh x=ex−e−x2, ch x=ex+e−x2
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на R, причем sh x— нечетная функция, а ch x — четная функция.
Из определения функций sh x и ch x следует, что
sh x+ch x=ex , ch2 x−sh2 x=1 ,
ch 2x=1+2sh2 x , sh 2x=2sh x ch x
По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами
th x=sh xch x , cth x=ch xsh x
Функция th x определена и непрерывна на R, а функция cth x определена и непрерывна на множестве R с выколотой точкой x=0. Обе функции нечетные.
Пусть функции u(x) и v(x) определены на промежуткеΔ=(a,b), причем для всехx∈Δ выполняется условие u(x)>0, Тогда функцию y, определяемую формулой
y=ev(x)lnu(x)
будем называть показательно-степенной и обозначать
y=u(x)v(x)
Таким образом, исходя из определения
u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)
Если u,v — функции, непрерывные на Δ, то функция uv непрерывна на Δ как суперпозиция непрерывных функций et и t=v(x)lnu(x).
Непрерывность элементарных функций
Если функции z=f(y) и y=φ(x) дифференцируемы соответственно в точках y0 и x0, где y0=φ(x0), то z=f(φ(x)) — дифференцируема в точке x0, причём z′(x0)=f′(y0)⋅φ′(x0)=f′(φ(x0))⋅φ′(x0).
Т.к. функции f и φ непрерывны, то z(x)=f(φ(x)) — непрерывны в точке x0⇒z определена в uδ(x0)
|Δx|<δ
Δz=f(y)=f(φ(x))
Δz=f′(y0)⋅Δy+Δy⋅α(Δy), где limΔy→0α(Δy)=0
\frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=&s=2
=\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0) &s=2
Теорема доказана.