Метка: сумма диагоналей таблицы

Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)

Условие

Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить $100$ различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$

a) Суммы $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

б) Произведения $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

Решение

Построение таблицы, при которых сумма его диагоналей были бы одинаковыми.

Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$ суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица ниже(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$

В самом деле, если $k \times k$ не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.

Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам первой таблицы добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем $10$, к третьей $20$, и так далее. Полученная таблица удовлетворяет условию.

$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$
$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$	$37$	$38$	$39$	$40$
$41$	$42$	$43$	$44$	$45$	$46$	$47$	$48$	$49$	$50$
$51$	$52$	$53$	$54$	$55$	$56$	$57$	$58$	$59$	$60$
$61$	$62$	$63$	$64$	$65$	$66$	$67$	$68$	$69$	$70$
$71$	$72$	$73$	$74$	$75$	$76$	$77$	$78$	$79$	$80$
$81$	$82$	$83$	$84$	$85$	$86$	$87$	$88$	$89$	$90$
$91$	$92$	$93$	$94$	$95$	$96$	$97$	$98$	$99$	$100$

Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.

Построение таблицы, при которых произведение его диагоналей были бы одинаковыми.

Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на $a^k$, где $a$ — любое целое число. Пример, где $a=2$, показан в таблице ниже.

$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$

Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки $10$, к третьей $20$, и так далее. И получаем нужную нам таблицу.

$2^1$	$2^2$	$2^3$	$2^4$	$2^5$	$2^6$	$2^7$	$2^8$	$2^9$	$2^{10}$
$2^{11}$	$2^{12}$	$2^{13}$	$2^{14}$	$2^{15}$	$2^{16}$	$2^{17}$	$2^{18}$	$2^{19}$	$2^{20}$
$2^{21}$	$2^{22}$	$2^{23}$	$2^{24}$	$2^{25}$	$2^{26}$	$2^{27}$	$2^{28}$	$2^{29}$	$2^{30}$
$2^{31}$	$2^{32}$	$2^{33}$	$2^{34}$	$2^{35}$	$2^{36}$	$2^{37}$	$2^{38}$	$2^{39}$	$2^{40}$
$2^{41}$	$2^{42}$	$2^{43}$	$2^{44}$	$2^{45}$	$2^{46}$	$2^{47}$	$2^{48}$	$2^{49}$	$2^{50}$
$2^{51}$	$2^{52}$	$2^{53}$	$2^{54}$	$2^{55}$	$2^{56}$	$2^{57}$	$2^{58}$	$2^{59}$	$2^{60}$
$2^{61}$	$2^{62}$	$2^{63}$	$2^{64}$	$2^{65}$	$2^{66}$	$2^{67}$	$2^{68}$	$2^{69}$	$2^{70}$
$2^{71}$	$2^{72}$	$2^{73}$	$2^{74}$	$2^{75}$	$2^{76}$	$2^{77}$	$2^{78}$	$2^{79}$	$2^{80}$
$2^{81}$	$2^{82}$	$2^{83}$	$2^{84}$	$2^{85}$	$2^{86}$	$2^{87}$	$2^{88}$	$2^{89}$	$2^{90}$
$2^{91}$	$2^{92}$	$2^{93}$	$2^{94}$	$2^{95}$	$2^{96}$	$2^{97}$	$2^{98}$	$2^{99}$	$2^{100}$

Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.

А. Балинский