Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства $\mathbb{R}^n$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество $F \subset \mathbb{R}^n$ имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество $F$ является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку $F$ еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, $F$ компактно. Для каждой точки $x \in F$ построим такую окрестность $U_x$ , в которой нет других точек из $F$ , кроме $x$ (если бы для какой-то точки $x$ такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для $F$ ). Тогда семейство $\left\{U_x \right\}_{x \in F}$ образует открытое покрытие компактного множества $F$ . Пользуясь компактностью $F$ , выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества $E$ . Но это противоречит тому, что множество $E$ бесконечно. $\square$
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству $E$ .

Литература:

В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.241-242)
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Конспект З.М. Лысенко

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность .

Доказательство:

$\square$
Предположим, что $\{x_n\}$ - ограниченна, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку $[a;b]$ .
Разделим $[a;b]$ пополам. Мы получим два отрезка. Хотя бы один из них содержит бесконечное число членов последовательности. Выберем этот отрезок. Если оба обладают этим свойством, то выберем первый. Выбранный отрезок, который содержит бесконечное число членов данной последовательности, обозначим $\Delta _1=[a_1;b_1]$ и его длина равна $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ . Разделим отрезок $\Delta _1$ пополам, выберем из двух получившихся отрезков $\Delta _2=[a_2;b_2]$ длина которого $b_2-a_2=\frac{b-a}{2^2}$
Продолжая эти рассуждения, мы получим последовательность отрезков $\{\Delta _n=[a_n;b_n]\}$ таких, что:

$\Delta_1\supset\Delta_2\supset… \Delta_n\supset\Delta_{n+1}\supset…$
$\lim_{k\to\infty}\frac{b-a}{2^k}=0$

Следовательно, по определению, наша последовательность $\{\Delta_n\}$ стягивающаяся Тогда, по теореме Кантора, существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, то есть:
$\exists c:\forall k\in\mathbb{N}\ \ c\in\Delta_k$ (1)
Покажем, что $\exists \{x_{n_{k}}\}\rightarrow c$
Так как отрезок $\Delta_1$ содержит бесконечное число членов последовательности $\{x_n\}$ , то $\exists n_1\in\mathbb{N}:x_{n_{1}}\in\Delta_1$ .
Отрезок $\Delta_2$ также содержит бесконечное число членов данной последовательности, и поэтому:
$\exists n_2>n_1:x_{n_{2}}\in\Delta_2$
Вообще, $\forall k\in\mathbb{N}\ \exists n_k: x_{n_{k}}\in\Delta_k$ , где $n_1<n_2<…<n_{k-1}<n_k$
Следовательно, существует подпоследовательность $\{x_{n_{k}}\}$ последовательности $\{x_n\}$
такая, что $\forall k\in\mathbb{N}\ a_k\leq x_{n_{k}}\leq b_k$ (2)
Условия (1) и (2) означают, что точка С и $\{x_{n_{k}}\}$ принадлежат отрезку $\Delta_k=[a_k;b_k]$ , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка $\Delta_k$ то есть:
$\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq \Bigl|C-x_{n_k}\Bigl|\leq b_k-a_k=\underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{\frac{b-a}{2^k}}}}$ при $k\to\infty$ По теореме о трех последовательностях
$\lim_{k\to\infty}|C-{x_{n_{k}}}|=0 \Rightarrow \lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=c$
Теорема доказана $\blacksquare$

Замечание

Теорему Больцано-Вейерштрасса можно сформулировать еще и так:
любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.

Интересно знать:

Метод, примененный в доказательстве данной теоремы ,который состоит в последовательном делении пополам рассматриваемых промежутков, называется методом Больцано, он часто используется при доказательстве других теорем.
Теорему о трех последовательностях называют также теорема о двух милиционерах. Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то заключённый также вынужден туда идти. В разных странах её называют по-разному: теорема сжатия, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

Пример

Показать, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный $+\infty$

Спойлер

Покажем, что если последовательность $\{x_n\}$ не ограничена сверху, то из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к $+\infty$ .
Сначала выберем число $\{x_{n_{1}}\}$ , такое, что $\{x_{n_{1}}\}>1$ .
Затем, пользуясь неограниченностью сверху, находим такой номер $n_2>n_1$ , что для $\{x_{n_{2}}\}$ выполняется неравенство $\{x_{n_{2}}\}>2$ и так далее.
В результате получим $\lim_{k\to\infty}{x_{n_{k}}}=+\infty$
Аналогично доказывается тот факт, что всякая неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный $-\infty$

[свернуть]

Литература:

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.56-57 )
В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (стр.20-21)
Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009.Вып. 11: Курс лекций по математическому анализу. Семестр I / Теляковский С. А. – 212 с. (стр. 63-64)

Тест

Тест на проверку знаний по теме: «Теорема Больцано-Вейерштрасса»

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 5
Заполните пропуски в формулировке теоремы Больцано-Вейерштрасса
- Из любой можно выделить подпоследовательность
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 10
Расставьте в правильном порядке этапы доказательства теоремы Больцано-Вейерштрасса
- Последовательное деление отрезка [a,b]
- получили стягивающуюся последовательность
- применяем теорему Кантора о вложенных отрезках
- покажем,что существует такая последовательность,которая стремится к числу С
- применяем теорему о трех последовательностях
- теорема доказана
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 5
Какая из перечисленных теорем Кантора была использована в доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса ?
- Теорема Кантора о вложенных отрезках
- теорема Кантора о равномерной непрерывности
- Теорема Кантора о равномерной непрерывности на компакте
- Теорема Кантора-Бернштейна о равномощности множеств
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 10
Заполните пропуски в утверждении
- Всякая последовательность имеет предел, равный бесконечности.
Правильно

Неправильно

Мы показали в примере, что всякая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный $+\infty$ аналогично доказывается,что неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный $-\infty$ отсюда делаем вывод,что всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел, равный $\infty$

Подсказка

Необходимо воспользоваться примером,разобранным в данной теме

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: Теорема Больцано-Вейерштрасса

Лемма Больцано-Вейерштрасса