Формулировка

Пусть $U \subset \mathbb{R}^{n}$ — открытая окрестность точки $x \in \mathbb{R}^{n}$ и функция $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ имеет в $U$ непрерывные частные производные по всем переменным до порядка $m$ включительно.

Пусть также $h \in \mathbb{R}^{n}$ и $\left[ x..x+h \right] \subset U$ . Тогда справедливо представление

$f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + r_{m}\left(x\right)$

где при некотором $\theta \in \left(0 .. 1 \right)$

$r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^{m}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{m}} } \left( x + \theta h \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}}$

Доказательство

Доказательство многомерного случая теоремы сводится к одномерному случаю посредством введения дополнительной функции

$\phi \colon \left[ 0, 1 \right] \rightarrow \mathbb{R}$

$\phi \left( t \right) = f\left( x + th \right)$
По теореме о дифференцируемости сложной функции, функция

$\phi$ дифференцируема на

$\left[ 0, 1 \right]$ и её первая производная есть

$\phi ^ {\left( 1 \right)} \left( t \right) = \sum_{i_{1}=1}^{n} \frac{\partial f }{\partial x_{i_{1}}} \left( x + t h \right) h_{i_{1}}$
Аналогично, для второй производной справедлива формула

$\phi ^ {\left( 2 \right)} \left( t \right) = \sum_{i_{1},i_{2}=1}^{n} \frac{\partial^{k} f }{\partial x_{i_{1}} \partial x_{i_{2}}} \left( x + t h \right) h_{i_{1}} h_{i_{2}}$
По индукции получаем, что при любом

$k = \overline{1,m}$

$\phi ^ {\left( k \right)} \left( t \right) = \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}}$
Применим к функции

$\phi$ одномерную теорему о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Согласно этой теореме, существует число

$\theta \in \left(0 .. 1 \right)$ , такое, что

$\phi \left( t \right) — \phi \left( 0 \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\phi ^ {\left( k \right)} \left( 0 \right)}{k!} t^{k} + \frac{t^m}{m!}\phi ^ {\left( m \right)} \left( {\theta t} \right)$
Полагая

$t = 1$ , получаем:

$\phi \left(1\right) — \phi \left( 0 \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\phi ^ {\left( k \right)} \left( 0 \right)}{k!} + \frac{1}{m!}\phi ^ {\left( m \right)} \left( {\theta} \right)$
Вычислив

$\phi \left( 0 \right) = f\left( x \right)$ и

$\phi \left( 1 \right) = f\left( x+h \right)$ и подставив в формулу выражения для производных

$\phi ^ {\left( k \right)}$ , найденные выше, получим доказываемую формулу.

Замечания

Замечание 1. Нетрудно заметить, что

$\sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} = \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) ^{k} f \left( x \right)$
Это наблюдение позволяет записать основную формулу теоремы Тейлора в более эстетичной, с точки зрения некоторых, форме:

$f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x_{1}} + \cdots + h_{n} \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right) ^{k} f \left( x \right) + r_{m}\left(x\right)$

Замечание 2. Рассмотрим общий вид формулы Тейлора для случая функции двух переменных:

$f\left(x + h_1, y + h_2 \right) — f\left( x,y \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \left(h_{1} \frac{\partial}{\partial x} + h_{2} \frac{\partial}{\partial y}\right) ^{k} f \left( x, y \right) + r_{m}\left(x,y\right)$

$f\left(x + h_1, y + h_2 \right) — f\left( x, y \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{p=0}^{k} C_{k}^{p} \frac{\partial^{k} f}{\partial x^{k-p} \partial y^{p}}\left(x, y \right) h_{1}^{k-p} h_{2}^{p} + r_{m}\left(x,y\right)$

Замечание 3. Если в качестве точки $x$ взять точку $\left(0, \cdots, 0 \right)$ , то формулу Тейлора называют формулой Маклорена.

Замечание 4. Формулу Тейлора можно использовать для приближённого вычисления значений рассматриваемой функции. В частности, если рассматривать разложение до членов первого порядка включительно, то получаем очень простую геометрическую интерпретацию: график функции «приближается» некоторой гиперплоскостью. В случае двух переменных речь идёт об обычной плоскости и описанную ситуацию можно схематично изобразить так:

Пример

Разложим по формуле Тейлора до членов второго порядка включительно функцию $f \left( x, y \right) = e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)}$ в окрестности точки $\left( 1, 2 \right)$
Поскольку речь идёт о членах второго порядка, нам понадобятся производные вплоть до того же порядка. Найдём производные и вычислим их значения в точке разложения:

$f \left( 1, 2 \right) = e ^ {-5}$

$\frac{\partial f}{\partial x}\left(x, y\right) = -2x e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial f}{\partial x}\left(1, 2\right) = -2e ^ {-5}$

$\frac{\partial f}{\partial x}\left(x, y\right) = -2y e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial f}{\partial x}\left(1, 2\right) = -4e ^ {-5}$

$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial x^2}\left(x, y\right) = \left(-2 + 4x^2 \right) e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial x^2}\left(1, 2\right) = 2 e ^ {-5}$

$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial y^2}\left(x, y\right) = \left(-2 + 4y^2 \right) e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y^2}\left(1, 2\right) = 14 e ^ {-5}$

$\frac{\partial ^ 2 f}{\partial x \partial y}\left(x, y\right) = \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y \partial x}\left(x, y\right) = 4xy e ^ {-\left(x^2 + y^2 \right)} ~~~~~ \frac{\partial ^ 2 f}{\partial x \partial y}\left(1, 2\right) = \frac{\partial ^ 2 f}{\partial y \partial x} \left(1, 2\right) = 8e ^ {-5}$

Искомое разложение:

$f \left(x, y\right) \approx e ^ {-5} \left(1 — 2\left(x-1\right) — 4\left( y-2\right) + \left(x-1\right)^2 + 7\left(y-2\right)^2 + 8\left(x-1\right)\left(y-2\right) \right)$

Литература

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, ФИЗМАТЛИТ, 2001, стр. 554-555
Коляда В.И., Кореновский А.А., Курс лекций по математическому анализу, Астропринт, 2009, часть I, стр. 292-293

Проверьте, насколько хорошо Вы знаете многомерные ряды Тейлора.

Задание 1 из 5

1.
Укажите в правильном порядке шаги доказательства теоремы Тейлора, приведённого выше
- Введение дополнительной функции $\phi$
- Применение к функции $\phi$ теоремы о дифференцируемости сложной функции
- Применение к функции $\phi$ одномерной версии теоремы Тейлора

Сопоставьте функции и их разложения по степеням $x$ и $y$ .

Элементы сортировки

$x + y -\frac{1}{3}x^3 - x^2 y - x y^2 -\frac{1}{3} y^3 + \cdots$
$x + y -\frac{1}{3} x^3 -\frac{1}{3} y^3 + \cdots$
$xy - \frac{1}{3}x y^3 - \frac{1}{3}y x^3 + \cdots$
$xy -\frac{1}{3}x^3y^3 + \cdots$

$\sin \left( x + y \right)$

$\sin \left( x \right) \cdot \sin \left( y \right)$

$\sin \left( x \right) + \sin \left( y \right)$

$\sin \left( x y \right)$

Задание 3 из 5

3.
Разложите по формуле Тейлора до членов третьего порядка включительно функцию $f \left( x, y \right) = e ^ x \sin y$ в окрестности точки $\left( 0, 0 \right)$
- $y + xy - \frac{1}{6}y^3 + \frac{1}{2}x^2 y$
- $y + xy + x^2 y - \frac{1}{6} y^3$
- $1 + x + xy + y^2 + \frac{1}{3} x^2 y - \frac{1}{3} x y^2$
Задание 4 из 5

4.
Верно ли, что $x^2 y^4 z^8 = \underline{o} \left( \left(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \right) ^ 3 \right)$ при $x \rightarrow 0$ ?
- Нет
- Да
- Информации недостаточно
Задание 5 из 5

5.
Если в качестве точки x взять точку (0, …, 0), то формулу Тейлора называют формулой _____________.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Метка: теорема Тейлора

Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Замечания

Пример

Литература

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

5.

Средний результат
Ваш результат