Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

М1339. О связи площади, угла и биссектрисы, проведенной из этого угла

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 10 выпуск)

Условие

Дан треугольник ABC. Пусть S — его площадь, γ — угол ACB, а l — длина биссектрисы, проведенной из вершины C.

  1. Докажите, что Sl2tgγ2.
  2. Для каких треугольников ABC выполняется равенство?

Первое решение

Обозначим через a и b стороны BC и AC треугольника ABC.

Имеем l=2aba+bcosγ2 (докажите это).

Тогда l2tgγ2=4a2b2(a+b)2cos2γ2sinγ2cosγ2==4aba2+b2+2ab12ab2sinγ2cosγ24ab2ab+2ab12absinγ=S.

Очевидно, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда a2+b2=2ab, то есть тогда и только тогда, когда a=b.

Второе решение

Пусть a>b, тогда A>B, и угол CDB — тупой. Проведем через точку D отрезок AB (см. рисунок), перпендикулярный CD.

рис. 1

Поскольку BD>AD (это легко следует из соотношения BCAC=ab>1), площадь треугольника BDB больше площади треугольника ADA. Поэтому S>SACB=l2tgγ2. При a=b равенство S=l2tgγ2 очевидно.

Н. Немировская, В. Сендеров

Дополнения

Докажем, что l=2aba+bcosγ2.

Вычислим площади треугольников BCD, ACD и ABC: SBCD=12BCCDsinBCD=12blsinγ2. SACD=12ACCDsinACD=12alsinγ2. SABC=12ACBCsinBCA=12absinγ.

Выразим l, используя равенство SABC=SBCD+SACD: 12absinγ=12blsinγ2+12alsinγ212absinγ=12(a+b)lsinγ2 l=absinγ(a+b)sinγ2l=ab2sinγ2cosγ2(a+b)sinγ2l=2aba+bcosγ2.

Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

Если на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]f(x)[/latex] имеет непрерывную производную [latex]f^{‘}(x)[/latex], то поверхность [latex]M[/latex], образованная вращением графика этой функции вокруг оси [latex]Ox[/latex], квадрируема и её площадь [latex]P[/latex] может быть вычислена по формуле[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]
grafik1
Доказательство. Длина [latex]l_{i} [/latex] звена [latex]A_{i-1}A_{i} [/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n} [/latex] равна [latex]\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}.[/latex] По формуле Лагранжа имеем [latex]y_{i}-y_{i-1}=[/latex][latex]f(x_{i})-f(x_{i-1})=[/latex][latex]f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) [/latex]. Полагая [latex]x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} [/latex]. Поэтому, согласно формуле,
[latex]P(x_{i})=[/latex][latex]2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}},[/latex] Обозначим эту формулу [latex](**).[/latex] Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции [latex]2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}[/latex], которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]. Докажем, что выражение в правой части [latex](**)[/latex] имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть [latex]\varepsilon>0[/latex]. Так как функция [latex]f(x)[/latex] равномерно непрерывны на сегменте [latex][a,b] [/latex], то по данному[latex]\varepsilon>0[/latex] можно указать такое [latex]\delta>0[/latex], что при [latex]\Delta<\delta[/latex][latex](\Delta=\max\Delta_{x_{i}})[/latex] выполняются неравенства [latex]|y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex] и [latex]|y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex]. Если [latex]T[/latex] — максимальное значение функции [latex]\sqrt{1+f^{‘2}(x)}[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex], то получаем
[latex]|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+[/latex][latex](y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<[/latex][latex]2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=[/latex][latex]2T(b-a)\varepsilon.[/latex] В силу произвольности [latex]\varepsilon >0[/latex] предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i})[/latex] и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex].
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция [latex]f^{‘}(x)[/latex] была определена и интегрируема на сегменте [latex][a,b].[/latex] Из этого предположения вытекает интегрируемость функции [latex]f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}.[/latex] Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность [latex]M[/latex] получается посредством вращения вокруг оси [latex]Ox[/latex] кривой [latex]L[/latex], определяемой параметрическими уравнениями
[latex]x=\phi(t)[/latex], [latex]y=\psi(x)[/latex], [latex]\alpha\leq t\leq \beta,[/latex] то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx,[/latex] получим следующее выражение для площади [latex]P[/latex] этой поверхности [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt.[/latex]
Пример 1.Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/latex] вращается вокруг оси [latex]Ox[/latex]. Рассмотрим сначала случай [latex]a>b[/latex](вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае [latex]f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}[/latex], найдем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=[/latex][latex]2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e)[/latex]. Если [latex]a<b[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}[/latex] и проводя соответствующие вычисления, получим [latex]P=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e})[/latex].
Пример 2. Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности, образованной вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex] циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями [latex]x=a(t- \sin t),[/latex] [latex]y=a(1-\cos t)[/latex], [latex]0\leq t\leq 2\pi[/latex]. По формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt[/latex]. Имеем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=[/latex][latex]2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=[/latex][latex]\frac{64}{3}\pi a^{2}[/latex].
Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Вычислении площади поверхности вращения

    Вычислении площади поверхности вращения

    Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

    максимум из 18 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Определение площади поверхности вращения

    Рассмотрим поверхность [latex]M[/latex], образованную вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex], заданной на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex]. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения [latex]M[/latex]. Пусть [latex]T[/latex] — разбиение сегмента [latex][a,b] [/latex] точками [latex]a=x_{0}<x_{1}<…[/latex][latex]<x_{n}=b [/latex], и пусть [latex]A_{0}[/latex],…,[latex]A_{n}[/latex] — соответствующие точки функции [latex]y=f(x)[/latex]. Построим ломанную [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex]. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность [latex] M(A_{i})[/latex], составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через [latex] P(x_{i})[/latex] площадь поверхности [latex] M(A_{i})[/latex]. Если [latex] y_{i}[/latex] — ординаты [latex]f(x)[/latex] в точках [latex] x_{i}[/latex], а [latex] l_{i}[/latex] — длина звена [latex] A_{i-1}A_{i}[/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex], то
    [latex] P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}[/latex]
    Сформулируем следующее определения.

  • Число [latex]P[/latex] называется пределом площадей [latex]P(x_{i})[/latex], если [latex]\forall[/latex] [latex]\epsilon>0[/latex] [latex]\exists[/latex] [latex]\triangle>0 [/latex], что [latex]\forall[/latex] разбиения [latex]T[/latex] сегмента [latex][a,b] [/latex], максимальная длина [latex]D[/latex] частичных сегментов которого меньше [latex]\triangle[/latex] выполняется неравенство [latex]|P(x_{i})-P|<\epsilon[/latex].
  • Поверхность вращения [latex]M[/latex] называется квадрируемой, если [latex]\exists [/latex] предел [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i}) [/latex]. При этом число [latex]P[/latex] называется площадью поверхности [latex]M[/latex].
  • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Универсальная подстановка

    Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

     

    Интегралы вида latexR(sinx,cosx)dx   , где R-рациональная функция.

    Спойлер

    Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

    Спойлер

    Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

    Подстановка Вейерштрасса
    Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от latexsinx, latexcosx и latexsinhx, latexcoshx»

    Список литературы:

    • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
    • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

    Дополнительные материалы :

     

     

    Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

    по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


    Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

    максимум из 7 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x. Универсальная подстановка.

    Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку latexx=2arctant    или  latextanx2=t .

    Интегралы вида latexR(sinx,cosx)dx   , где R-рациональная функция.

    В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

    latexsinx=2tanx21+tan2x2=2t1+t2 ;       latexcosx=1tan2x21+tan2x2=1t21+t2 , где    latexdx=2dt1+t2 .

    Гиперболические функции    определяются следующим образом:

    latexsinhx=exex2 ;       latexcoshx=ex+ex2 .


    Приведем еще несколько полезных соотношений :   

    • latexcosh2xsinh2x=1 ;
    • latexsinh2x=2sinhcosh ;
    • latexcosh2x=cosh2+sinh2

    Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки 

    latext=ex ;           latexx=lnt ;           latexdx=dtt .

    Рассмотрим несколько примеров:

    (Прочитав вышеизложенный материал, попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)

     

    1) Найти интеграл latexdx4sinx+3cosx+5

    Подсказка: используйте подстановку        latextanx2=t

    Спойлер

     

     

    2) Найти интеграл latex(sinx+sin3x)dxcos2x .

    Подсказка : используйте замену   latexcosx=t   , а также свои знания по теме  «Тригонометрические тождества» 

    Спойлер

     

     

    3) Найти интеграл latexcoshx2+3sinhxdx

    Подсказка: используйте подстановку    latext=2+3sinhx 

    Спойлер

     

     

    4) Найти интеграл latexsinh3xdx
    Подсказка:  используйте гиперболиские соотношения 

    Спойлер

    Литература:

    • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова (издание 6-е часть 1) стр. 234-242
    • Конспекты по мат.анализу (преп. Лысенко З.М.)
    • Ещё больше примеров можно найти  здесь

    Дополнительные материалы :

    • Лекции по матанализу т1. стр. 171-173
    • Г.М.Фихтенгольц т.2  1964 год стр. 73-78

     

     

     

    Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

    по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


    Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

    максимум из 7 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных