Условие

Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен $d$, другой $2d$. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?

Решение

Удлинение пружины равно $\Delta l = n\cdot 2d\cdot \sin\frac{\alpha}{2}$, где $n$ — число витков пружины, а $\alpha$ — угол, на который разворачиваются соседние витки пружины (Рис.). Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал и $\sin\frac{\alpha}{2} \approx\frac{\alpha}{2}$. Поэтому $\Delta l = nd\alpha$.
Угол $\alpha$ пропорционален моментам сил $F$, которые растягивают виток: $\alpha \simeq F\cdot d$. Сила $F$ равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинакова в обоих случаях, поэтому $\Delta l\sim nd^2$.

Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на $\frac{2}{5}$ своей длины.

Многие, приславшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше чем первой, но забыли, что вторая пружина в двое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно не $\frac{1}{5}$, как получилось у них, а $\frac{2}{5}$.