Ф3. Задача о растяжении пружины

Условие

Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен $d$, другой $2d$. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?

Решение

Удлинение пружины равно $\Delta l = n\cdot 2d\cdot \sin\frac{\alpha}{2}$, где $n$ — число витков пружины, а $\alpha$ — угол, на который разворачиваются соседние витки пружины (Рис.). Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал и $\sin\frac{\alpha}{2} \approx\frac{\alpha}{2}$. Поэтому $\Delta l = nd\alpha$.
Угол $\alpha$ пропорционален моментам сил $F$, которые растягивают виток: $\alpha \simeq F\cdot d$. Сила $F$ равна весу груза, подвешенного к пружине, и одинакова в обоих случаях, поэтому $\Delta l\sim nd^2$.

Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. Таким образом, вторая пружина растянется на $\frac{2}{5}$ своей длины.

Многие, приславшие решение этой задачи, правильно нашли, что удлинение второй пружины в два раза больше чем первой, но забыли, что вторая пружина в двое короче, чем первая, поэтому относительное удлинение второй пружины равно не $\frac{1}{5}$, как получилось у них, а $\frac{2}{5}$.

Ф3. Задача о растяжении пружины: 7 комментариев

  1. Откуда формула alpha = F * d с размерностью работы?

    Почему ответ 2/5, а не 1/5?

    Обозначение буквой d на рисунке разве правильное?

    1. Спасибо за коментаий. Угол действительно не может иметь размерность работы, я исправил эту несураицу.
      Хочу отметить, что в данной задаче это момент силы, а не работа. Работа связана с перемещением, а здесь у нас сила приложенная к определённому участку пружины, то есть к плечу длинной $d$.
      Я прописал подробнее почему именно $\frac{2}{5}$, а не $\frac{1}{5}$. Да, на рисунке $d$ обозначенно правильно. Это диаметр первой пружины. Рисунок изображает разрез первой пружины в вертикальной плоскости.

      1. >> Да, на рисунке d обозначенно правильно

        Ну Вы первую формулу посмотрите с синусом. Синус — это отношение противолежащего катета (т.е. удлинения L) к гипотенузе. Чтобы в формуле осталось только удлинение, нужно чтоб гипотенуза исчезла. Это возможно только когда d обозначает гипотенузу, а не второй катет. Либо иначе я не понимаю что такое L.

        Про
        >> Диаметр витков второй пружины вдвое больше, а число витков у неё вдвое меньше, следовательно, абсолютное удлинение второй пружины вдвое больше, чем у первой. <<
        тоже не понимаю. При подстановке этих соотношений в формулу для дельта L (через число витков и d^2) должен остаться множитель 2. Т.о. если исходная пружина на 10% своей длины выросла, то вторая должна на 20%. Правильно?

        1. Вы сами написали ответ на свой вопрос. При подстановке в формулу $d^2$ множитель аналогично будет возведён в квадрат. И мы получим $\frac{4}{10}$ или $\frac{2}{5}$.
          Что касательно угла $\alpha$ так как он мал, то больший катет ($d$) в приближении может играть роль гипотенузы. Это точно так же как мы приближаем значение синуса к значению аргумента.

          1. В условии задачи нет намёка на малость угла /alpha. В пружинах, растягивающихся на 10%, а тем более на 40% своей длины малость угла /alpha сложно представить.

            Решение похоже на подгонку к ответу.

  2. >> Так как удлинение пружины мало, то этот угол мал <<
    В условии данной задачи мы пренебрегаем толщиной проволоки из которой свили пружину. Когда на пружину не действуют силы исходя из вышеописанного допущения угол $\alpha$ равен $0$, а при растяжении пружины её удлинение будет равномерно распределено между всеми её витками, раз толщина $\to 0$ то и количество витков будет $\to\infty$, значит и расстояния между соседними витками будут $\to 0$ из чего следует малость угла $\alpha$.

    1. Бесконечное число витков, но растягивается только на 10% своей длины.
      Диаметр вдвое больший мы принимаем к сведению в целях расчёта длины, а вдвое меньшее число витков (которое одновременно является бесконечно большим) игнорируем.
      Я понял вашу логику. Благодарю.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *