Свойства сопряженного оператора

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

$\Theta^*=\Theta$ $($ в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
$E=E^*,$
${\left(A^* \right)}^*=A,$
$\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
$\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

$\left(A^*\right)^*=A$

$\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$ (по определению сопряженного оператора) $= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$

Получили равенство $\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем ${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то ${\left(A^*\right)}^*=A.$
$\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$ (по определению операции над линейными операторами) $= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$ (по свойству линейного оператора) $= \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \lambda \left(x,A^*y\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $= \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $= \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$

Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$ получаем $\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$
$\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

$\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$ (по определению операции сложения линейных операторов) $= \left(Ax+Bx,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) =$ (по по свойству скалярного произведения) $= \left(x,A^*y+B^*y\right) =$ (по определению операции сложения линейного оператора) $= \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$

Получили $\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$ или же $\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$
$\left(AB\right)^*=B^*A^*$

Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(\left(AB\right)x,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $=\left(A\left(Bx\right),y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(Bx,A^*y\right) =$ (по определению сопряженного оператора) $=\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) =$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $=\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$

Кратко запишем из равенства выше: $\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$
${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(A^{-1}x,y\right) =$ (по условию) $= \left(u,A^*v \right) =$ (по определению сопряженного оператора) $= \left(Au,y\right) =$ (по условию) $= \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$

Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем ${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем ${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$

Примеры решения задач

Найти сопряженный оператор для $AB+C.$

Решение

Воспользуемся $5$ -м и $6$ -м свойствами сопряженного оператора для решения этого примера. Тогда, $\forall x \in X,$ $\forall y \in Y,$ запишем равенство:

$\left(\left(AB+C\right)x,y\right) =$ (по определению операции сложения линейных операторов) $= \left(\left(AB\right)x+Cx,y\right) =$ (по свойству скалярного произведения) $=\left(\left(AB\right)x,y\right)+\left(Cx,y\right)=$ (для первой части воспользуемся свойством скалярного произведения в унитарном пространстве, а для второй — определением сопряженного оператора) $= \left(A\left(Bx\right),y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $=\left(Bx,A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $=\left(x,B^*A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$ (по по свойству скалярного произведения) $=\left(x,B^*A^*y+C^*y\right)=$ (по определению операции сложения линейного оператора) $=\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

Ответ: $\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

[свернуть]
Доказать, что $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$

Решение

Доказываем по аналогии с доказательством свойств сопряженного оператора. А именно, пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением сопряженного оператора и $4$ -м свойством сопряженного оператора. Тогда $\forall x \in X,$ и $\forall y \in Y:$

$\left(\left(\lambda A+BC\right)x,y \right)=\left(\left(\lambda A\right)x+\left(BC\right)x,y\right)=$ $=\left(\left(\lambda A\right)x,y\right)+\left(\left(BC\right)x,y\right)= \lambda \left(Ax,y\right)+\left(B\left(Cx\right),y\right)=$ $= \lambda \left(x,A^*y\right)+\left(Cx,B^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right)+\left(x,\left(C^*B^*\right)y\right)=$ $=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y+\left(C^*B^*\right)y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$

Получаем, что: $\left(x,\left(\lambda A+BC\right)^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$ Так как равенство выполняется $\forall x \in X \Rightarrow$ $\left(\lambda A+BC\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y.$ И так как равенство выполняется $\forall y \in Y \Rightarrow$ $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$

[свернуть]
Найти сопряженный оператор для $\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*.$

Решение

Доказываем пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением и свойствами сопряженного оператора.

$\left(\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*x,y \right)=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x + \left(\lambda CD\right)x + Ax,y\right) =$ $=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x,y\right) + \left(\left(\lambda CD\right)x,y\right) + \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(Bx,y\right) + \lambda \left(C\left(Dx\right),y\right) +$ $+ \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(x,B^*y\right) + \lambda \left(x,\left(D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y\right) +$ $+ \left(x,\left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y + \left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y + A^*y\right) =$ $= \left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

Ответ: $\left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

[свернуть]

Свойства сопряженного оператора

Тест на знание темы «Свойства сопряженного оператора»

Смотрите также

Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Сопряженный оператор: существование и единственность

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно

$0$ ). Тогда длины всех векторов будут равны

$1.$ Обозначим этот базис как

$\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть

$A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства

$Y \to X,$ сопряженный с оператором

$A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства

$Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству

$X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства

$X.$ Тогда

$A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$ (по определению сопряженного оператора) $= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$\left(Ax,y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$ (по определению линейного оператора) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$

Найдем скалярное произведение:

$\left(x,A^*y\right)=$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$ (по свойству скалярного произведения) $= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$ (по свойству скалярного произведения) $=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$

Получили $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $Ax=\left[a,x\right].$ Найти сопряженный оператор.

Решение

Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

$\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

Ответ: $-A.$

[свернуть]
Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$

Решение

Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

[свернуть]
Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.

Решение

Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$ $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$

Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$

Подробно распишем правую часть

$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$ $=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$

Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$

Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$

По аналогии с первой частью

$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$

Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$

[свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Метка: унитарное пространство

Свойства сопряженного оператора

Примеры решения задач

Свойства сопряженного оператора

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

Смотрите также

Сопряженный оператор: существование и единственность

Примеры решения задач

Сопряженный оператор

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

Смотрите также

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат