Задача из журнала «Квант» (1973, №12)

Условие

Углы остроугольного треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:

1.  В точку пересечения высот?
2. В центр описанной окружности?

Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:

3.  В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
4. В центр вписанной окружности?

 

Решение

Пусть в вершинах треугольника $ABC$ расположены массы $m_{a}$, $m_{b}$ и $m_{c}$ соответственно. Проведем прямые $BD$ и $CE$, пересекающиеся внутри треугольника в точке $O$ (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точку$O$, необходимо выполнение соотношений $\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{AD}{DC}$ и $\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{AE}{BE}$. Перейдем теперь к решению задачи.

1.  Пусть $BD$ и $CE$ — высоты в треугольнике $ABC$ (рис. 2). Тогда $\frac{BD}{AD}=tg \alpha$, $\frac{BD}{DC}=tg \gamma$, то есть $\frac{AD}{DC}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}$.
   Согласно сделанному замечанию, $\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}$ и аналогично $\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{tg \beta}{tg \alpha}$. Значит, в вершины $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ можно поместить, например, массы $m_{a}=tg \alpha$, $m_{b}=tg \beta$, $m_{c}=tg \gamma$.
   
2. Пусть $O$ — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
   $\frac{AD}{BD}=\frac{sin \beta_{1}}{sin \alpha}$,
   $\frac{DC}{BD}=\frac{sin \beta_{2}}{sin \gamma}$
   (теорема синусов для треугольника $ABD$ и $BCD$). Поэтому $\frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma \cdot sin\beta_{1}}{sin \alpha \cdot sin \beta_{2}}$.
   Треугольник $BAK$ — прямоугольный ($\measuredangle BAK=90^{\circ}$) и $\measuredangle BKA=\measuredangle BCA=\gamma$; поэтому $sin \beta_{1}=cos \gamma$. Аналогично $sin \beta_{2}=cos \alpha$.
   Итак, $\frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma}{sin \alpha}\cdot \frac{cos \gamma}{cos \alpha}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}$.
   Учитывая замечание, получаем:
   $\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}$.
   Таким же образом $\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{sin 2\beta}{sin 2\alpha}$.
   Значит, можно взять $m_{a}=sin 2\alpha$, $m_{b}=sin 2\beta$, $m_{c}=sin 2\gamma$.
   
3.  Легко видеть (см. рис. 4), что $AD=p-a$, $DC=p-c$, где $p=\frac{a+b+c}{2}$, поэтому $\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-c}$.
   Аналогично $AE=p-a$, $EB=p-b$, то есть $\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-b}$.
   Поэтому достаточно положить $m_{a}=\frac{1}{p-a}$, $m_{b}=\frac{1}{p-b}$, $m_{c}=\frac{1}{p-c}$.
   
4. Так как $BD$ — биссектриса угла $B$ (см. рис. 5), то $\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}$ или $\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{c}{a}$; соответственно $CE$ — биссектриса угла $C$ и $\frac{AE}{BE}=\frac{b}{a}$, то есть $\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{b}{a}$. Поэтому можно взять $m_{a}=a$, $m_{b}=b$, $m_{c}=c$.
   

Б. Д. Гинзбург