Теорема
Доказательство
Пример
При [latex]0<\alpha<1[/latex] имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что [latex]S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty [/latex], а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай [latex]\alpha>1[/latex]. Выберем такое натуральное [latex]m[/latex], что [latex]n<2^{m}[/latex]. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при [latex]\alpha>1[/latex] имеем [latex]S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}[/latex], т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при [latex]\alpha>1[/latex].
Список Литературы
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебн. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.388)
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2. (стр.262-264)
- Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа том 2. (стр.13-15)
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.2. — Одесса: Астропринт, 2009 (стр.6-8)
- Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу
Тест на проверку знаний по данной теме.
Таблица лучших: Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |