Задача из журнала «Квант» (1973, №12)
Условие
Углы остроугольного треугольника равны [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex] и [latex]\gamma[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трех масс попал:
- В точку пересечения высот?
- В центр описанной окружности?
Стороны треугольника равны [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex]. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал:
- В точку пересечения отрезков соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью?
- В центр вписанной окружности?
Решение
Пусть в вершинах треугольника [latex]ABC[/latex] расположены массы [latex]m_{a}[/latex], [latex]m_{b}[/latex] и [latex]m_{c}[/latex] соответственно. Проведем прямые [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex], пересекающиеся внутри треугольника в точке [latex]O[/latex] (рис. 1). Заметим, что для того, чтобы центр тяжести этих масс попал в точку[latex]O[/latex], необходимо выполнение соотношений [latex]\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{AD}{DC}[/latex] и [latex]\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{AE}{BE}[/latex]. Перейдем теперь к решению задачи.
- Пусть [latex]BD[/latex] и [latex]CE[/latex] — высоты в треугольнике [latex]ABC[/latex] (рис. 2). Тогда [latex]\frac{BD}{AD}=tg \alpha[/latex], [latex]\frac{BD}{DC}=tg \gamma[/latex], то есть [latex]\frac{AD}{DC}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}[/latex].
Согласно сделанному замечанию, [latex]\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{tg \gamma}{tg \alpha}[/latex] и аналогично [latex]\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{tg \beta}{tg \alpha}[/latex]. Значит, в вершины [latex]A[/latex], [latex]B[/latex] и [latex]C[/latex] треугольника [latex]ABC[/latex] можно поместить, например, массы [latex]m_{a}=tg \alpha[/latex], [latex]m_{b}=tg \beta[/latex], [latex]m_{c}=tg \gamma[/latex].
- Пусть [latex]O[/latex] — центр описанной окружности (рис. 3). Имеем:
[latex]\frac{AD}{BD}=\frac{sin \beta_{1}}{sin \alpha}[/latex],
[latex]\frac{DC}{BD}=\frac{sin \beta_{2}}{sin \gamma}[/latex]
(теорема синусов для треугольника [latex]ABD[/latex] и [latex]BCD[/latex]). Поэтому [latex]\frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma \cdot sin\beta_{1}}{sin \alpha \cdot sin \beta_{2}}[/latex].
Треугольник [latex]BAK[/latex] — прямоугольный ([latex]\measuredangle BAK=90^{\circ}[/latex]) и [latex]\measuredangle BKA=\measuredangle BCA=\gamma[/latex]; поэтому [latex]sin \beta_{1}=cos \gamma[/latex]. Аналогично [latex]sin \beta_{2}=cos \alpha[/latex].
Итак, [latex]\frac{AD}{DC}=\frac{sin \gamma}{sin \alpha}\cdot \frac{cos \gamma}{cos \alpha}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}[/latex].
Учитывая замечание, получаем:
[latex]\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{sin 2\gamma}{sin 2\alpha}[/latex].
Таким же образом [latex]\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{sin 2\beta}{sin 2\alpha}[/latex].
Значит, можно взять [latex]m_{a}=sin 2\alpha[/latex], [latex]m_{b}=sin 2\beta[/latex], [latex]m_{c}=sin 2\gamma[/latex].
- Легко видеть (см. рис. 4), что [latex]AD=p-a[/latex], [latex]DC=p-c[/latex], где [latex]p=\frac{a+b+c}{2}[/latex], поэтому [latex]\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-c}[/latex].
Аналогично [latex]AE=p-a[/latex], [latex]EB=p-b[/latex], то есть [latex]\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{p-a}{p-b}[/latex].
Поэтому достаточно положить [latex]m_{a}=\frac{1}{p-a}[/latex], [latex]m_{b}=\frac{1}{p-b}[/latex], [latex]m_{c}=\frac{1}{p-c}[/latex].
- Так как [latex]BD[/latex] — биссектриса угла [latex]B[/latex] (см. рис. 5), то [latex]\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}[/latex] или [latex]\frac{m_{c}}{m_{a}}=\frac{c}{a}[/latex]; соответственно [latex]CE[/latex] — биссектриса угла [latex]C[/latex] и [latex]\frac{AE}{BE}=\frac{b}{a}[/latex], то есть [latex]\frac{m_{b}}{m_{a}}=\frac{b}{a}[/latex]. Поэтому можно взять [latex]m_{a}=a[/latex], [latex]m_{b}=b[/latex], [latex]m_{c}=c[/latex].
Б. Д. Гинзбург
— Не придумали название задачи
— Не подключили на страницу «Квант» — http://ib.mazurok.com/kbaht/
— Добавьте существенные ключевые слова. Квант — это место публикации, а не ключевое слово.