Метка: Частное

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль произведение равен произведению модулей. Т.е. $\left|a\right| \cdot \left|b\right| = \left|a \cdot b\right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)).$ Перемножим эти числа:

$$a \cdot b = (r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))) \cdot (r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))) =$$ $$= rr'(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \cos(\phi)\sin(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — \sin(\phi)\sin(\phi’)) =$$ $$= rr'(\cos(\phi + \phi’) + i \sin(\phi + \phi’)).$$ После сокращения мы получили запись произведения $ab$ в тригонометрической форме. Следовательно, $\left| ab \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right|.$

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль частного равен частному модулей. Т.е. $\dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|} = \left| \dfrac{a}{b} \right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)),$ причём $b$ $\neq$ $0,$ т.е. $r’$ $\neq$ $0.$ Тогда

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))}{r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))} =$$ $$= \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)) \cdot r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))}{r'(\cos(\phi’)^{2} + \sin(\phi)^{2})} =$$ $$= \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — i \cos(\phi)\sin(\phi’) + \right.$$ $$\left. + \sin(\phi)\sin(\phi’) \right) = \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi — \phi’\right) + i \sin\left(\phi — \phi’) \right).$$ Следовательно, $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|}.$

Литература

1. Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.
2. А.Г. Курош Курс высшей алгебры — Москва: Физмалит, 1968. -431с. (с. 118-120).