Равенства для модулей произведения и частного

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль произведение равен произведению модулей. Т.е. $\left|a\right| \cdot \left|b\right| = \left|a \cdot b\right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)).$ Перемножим эти числа: $$a \cdot b = (r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))) \cdot (r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))) =$$ $$= rr'(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \cos(\phi)\sin(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — \sin(\phi)\sin(\phi’)) =$$ $$= rr'(\cos(\phi + \phi’) + i \sin(\phi + \phi’)).$$ После сокращения мы получили запись произведения $ab$ в тригонометрической форме. Следовательно, $\left| ab \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right|.$

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль частного равен частному модулей. Т.е. $\dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|} = \left| \dfrac{a}{b} \right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)),$ причём $b$ $\neq$ $0, $ т.е. $r’$ $\neq$ $0.$ Тогда $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))}{r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))} =$$ $$= \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)) \cdot r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))}{r'(\cos(\phi’)^{2} + \sin(\phi)^{2})} =$$ $$= \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — i \cos(\phi)\sin(\phi’) + \right.$$ $$\left. + \sin(\phi)\sin(\phi’) \right) = \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi — \phi’\right) + i \sin\left(\phi — \phi’) \right).$$ Следовательно, $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|}.$

Равенства для модулей произведения и частного.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Проверим как Вы усвоили материал.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1
   Рубрика: Алгебра

   Если $a, b -$ комплексные числа, то можно ли утверждать, что модуль произведения равен произведению модулей?

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1
   Рубрика: Алгебра

   Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что

   • модуль произведения не равен произведению модулей.
   • модуль частного равен частному модулей.
   • модуль произведения равен произведению модулей.
   • модуль частного не равен частному модулей.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1
   Рубрика: Алгебра

   Отсортируйте ответы по возрастанию (снизу вверх).

   • $\left| 3 + 3i \right| \cdot \left| 2 + 2i \right|$
   • $\dfrac{\left| 4 + 3i \right|}{\left| 1 + 2i \right|}$
   • $\left| 1 + i \right| \cdot \left| 2 + 3i \right|$
   • $\dfrac{\left| 3 + 3i \right|}{\left| 2 + 3i \right|}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1
   Рубрика: Алгебра

   Сопоставьте пример с его решением.

   Элементы сортировки

   • $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
   • $5 \sqrt{10}$
   • $4$
   • $\sqrt{\dfrac{17}{18}}$

   • $\dfrac{\left| 1 + i \right|}{\left| 2 + i \right|}$

   • $\left| 3 + 4i \right| \cdot \left| 1 + 3i \right|$

   • $\left| 1 + i \right| \cdot \left| 2 + 2i \right|$

   • $\dfrac{\left| 4 + i \right|}{\left| 3 + 3i \right|}$

   Правильно
   

   Неправильно