Фундаментальные последовательности

Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0$
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

• $\{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n}$ (можно доказать, используя критерий Коши)
  
  Спойлер

  $|x_{n+p}-x_n|=|\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n}+…+$ $+\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}} — (\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n})|=$$|\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}} + \frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}} + … + \frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$ $\le |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}}| + |\frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}}| + … + |\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$$\frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+2}} + … + \frac{1}{2^{n+p}} =$$\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}<\varepsilon \Rightarrow 2^n > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n > \log_2\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n_0=\log_2(\frac{1}{\varepsilon}) + 1$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $\varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

  [свернуть]
• $\{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , … , \frac{1}{n}\}$
  Спойлер

  Примем $\frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$, тогда: $|x_{n+p}-x_n|=|\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $\varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной. 

  [свернуть]
• $\{x_n\}=\frac{3n}{n+1}$
  Спойлер

  $|x_{n+p}-x_n|=|\frac{3(n+p)}{n+p+1}-\frac{3n}{n+1}|=|\frac{3n^2+3mn+3n+3m-3n^2-3mn-3n}{(n+p+1)(n+1)}|=$ $=|\frac{3m}{(n+p+1)(n+1)}|<\frac{3}{n+1}<\frac{3}{n}$ — таким образом, приняв искомое $N_\varepsilon > \frac{3}{\varepsilon}$, получим необходимый номер элемента последовательности для каждого $\varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

  [свернуть]

Литература: 

• Конспекты лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1. — Одесса: Астропринт, 2009(стр 30)