Фундаментальные последовательности

Фундаментальные последовательности

Последовательность $latex \{x_n\}$ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
$latex \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0$
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

  • $latex \{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n} $ (можно доказать, используя критерий Коши)
    Спойлер

    $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n}+…+$ $latex +\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}} — (\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + … + \frac{\sin n\alpha}{2^n})|= $$latex |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}} + \frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}} + … + \frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$ $latex \le |\frac{\sin(n+1)\alpha}{2^{n+1}}| + |\frac{\sin(n+2)\alpha}{2^{n+2}}| + … + |\frac{\sin(n+p)\alpha}{2^{n+p}}|\le$$latex \frac{1}{2^{n+1}} + \frac{1}{2^{n+2}} + … + \frac{1}{2^{n+p}} = $$latex \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}<\varepsilon \Rightarrow 2^n > \frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n > \log_2\frac{1}{\varepsilon} \Rightarrow n_0=\log_2(\frac{1}{\varepsilon}) + 1$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]
  • $latex \{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , … , \frac{1}{n}\}$
    Спойлер

    Примем $latex \frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$, тогда: $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{1}{n+p}-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}<\frac{1}{N_\varepsilon}<\varepsilon$ — таким образом, получили необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной. 

    [свернуть]
  • $latex \{x_n\}=\frac{3n}{n+1}$
    Спойлер

    $latex |x_{n+p}-x_n|=|\frac{3(n+p)}{n+p+1}-\frac{3n}{n+1}|=|\frac{3n^2+3mn+3n+3m-3n^2-3mn-3n}{(n+p+1)(n+1)}|=$ $latex =|\frac{3m}{(n+p+1)(n+1)}|<\frac{3}{n+1}<\frac{3}{n}$ — таким образом, приняв искомое $latex N_\varepsilon > \frac{3}{\varepsilon}$, получим необходимый номер элемента последовательности для каждого $latex \varepsilon$, а значит, последовательность является фундаментальной.

    [свернуть]

Литература: