Метка: непрерывность

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

• Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$.
•  Если $f(x_{0}) \neq 0$, то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
  ( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$.
•  Если функция $g: U_{E} (x_{0})$ $ \rightarrow R$ также непрерывна в точке $x_{0}$, то следующие функции непрерывны в точке $x_{0}$:
  • $f+g$
  • $f \cdot g $
  • $\Large \frac{f}{g}$

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$, а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$, $f(x_{0})=y_{0}$, $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке  $x_{0}$, то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$.

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$.

Источники:

1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Литература:

• В.А.Ильин, Э.Г. Позняк Основы математического анализа — Москва, «Наука», 1967. (стр.441-462)
• З.М. Лысенко Конспект лекций.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции $latex f(x)$. Построим график функции $latex y=f(x)$ и отметим на нём точку $latex a$ и точку $latex f(a)$.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента $latex=x$ незначительное, $latex=x+\delta $ , то и изменение $latex=f(x+\delta)$ будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

 Определение: 

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если  \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)

Определение(по Коши):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x\in X,| x-x_{0}|<\delta :|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon\)

Определение (по Гейне):

Функция \(f(x)\), называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если для любой последовательности \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }\), \(x_{n}\in X, n\in N\), такого что, \(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}x_{n}=x_{0}\):

\(\lim\limits_{n\rightarrow {\infty}}f(x_{n})=f(x_{0})\)

Определение:

Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta f=0\)  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение:

Функция \(f(x)\) — непрерывна справа, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) — непрерывна слева, если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\) Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})\)

Замечание:

Все эти определения непрерывности функции в точке эквивалентны. Кроме того, основные элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Пример:

1) \(x_{0}\geq 0\) \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{x}=\sqrt{x_{0}}\)        (\(\sqrt{x}\)- непрерывна на всей области определения)

Докажем:

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta _{\varepsilon }> 0, \forall x:|x-x_{0}|< \delta \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|< \varepsilon\) \(|\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|= \) \(|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}})}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}| = \) \(|\frac{x-x_{0}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}|=\) \(\frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_{0}}}\leq \frac{|x-x_{0}|}{\sqrt{x_{0}}}<\) \(\frac{\delta }{\sqrt{x_{0}}}<\) \( \varepsilon\) \(0< \delta < \varepsilon \sqrt{x_{0}}\) (\(\delta =\frac{\varepsilon \sqrt{x_{0}}}{2})\)

Рекомендации:

  Учебники :

• Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
• Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167.
•  Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

 Сборники задач:

• Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
• Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

Непрерывные функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест проверяет знания по тексту «Непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 6

   Вставьте пропущенные слова:
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_{0}\), если

   • бесконечно (малому) (приращению) аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 6

   Дополните выражение!

   • Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (непрерывны) везде в своей области определения.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 6

   Соберите определение непрерывности по Коши!

   • $$\forall \varepsilon > 0,$$
   • $$\exists \delta _{\varepsilon }> 0,$$
   • $$\forall x\in X,$$
   • $$|x-x_{0}|< \delta $$
   • $$|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 6

   Запись \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\) не может означать, что…

   • Функция \(f(x)\) определена в точке \(x_{0}\) и в её окрестности;
   • Функция \(f(x)\) имеет предел при \(x\rightarrow x_{0}\);
   • Предел функции в точке \(x_{0}\) равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство \(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\);
   • Функция не имеет предела в точке \(x_{0}\);
   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема. Пусть $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $. Тогда функция $latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b] $ непрерывна на $latex [a,b] $.

Доказательство.

Литература :

• Конспект по курсу математического анализа. ( преп. Лысенко З.М.)
• А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова, О.В. Ходос, В.Н. Лукин, Т.Н. Шипина «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2011. стр. 128

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Для чего мы воспользовались интегрируемостью  функции $latex f $ на отрезке $latex [a,b] $. Что из этого следует?

   • Ограниченность функции $ f $
   • Монотонность функции $ f $
   • Ничего. Мы не использовали интегрируемость $ f $ при доказательстве теоремы.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Дайте определение непрерывной функции.

   Непрерывная функция — …

   • это функция у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
   • это функция, приращение которой не меняет знака
   • это функция, у которой существует дифференциал
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Верно ли утверждение : Если функция $latex f $ непрерывна на отрезке $latex [a,b] $ то $latex \forall x \in [a,b] \exists F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt $

   • Да, верно
   • Нет, неверно
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Если функция $ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $ будет непрерывна на интервале $(a,b) $, а функция $ f $ интегрируема на отрезке $ [a,b] $, будет ли $ F(x) $ непрерывной и на отрезке $ [a,b] $

   • Да, будет.
   • Нет, не будет.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Если $ \forall x \in [a,b] \exists \int_{a}^{x} f(t)dt = F(x)$ гарантирует ли это непрерывность $ F(x) $ на $ [a,b] $

   • Нет.
   • Да
   Правильно
   

   Неправильно