Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex]. Тогда ее полное приращение в точке [latex]a[/latex] можно записать в виде

[latex]\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,[/latex]

где [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex]. Из этого представления следует, что существует предел

[latex]\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0[/latex],

означающий, что функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex].

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Кантора

Если функция $ f $ определена и непрерывна на сегменте $ [a,b] $, то она равномерно непрерывна на $ [a,b] $.

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $ f $ не равномерно непрерывна на $ [a,b] $, тогда

$ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b] $, $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $.

Выберем последовательность $ \delta_n = \frac{1}{n} $, $ n = \overline{1,+\infty} $. Согласно допущению, найдутся такие последовательности $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $, $ \left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty $, что:

$ x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b] $, $ |x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n} $ : $ |x’-x»| < \delta $ : $ |f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon $.

Последовательность $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $ \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $ x_0 $, причем что $ x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $ \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $ x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.

По условию теоремы $ f $ — непрерывна на $ [a,b] $, поэтому

$ \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}}) $.

Это противоречит тому, что $ |f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 $, $ \forall i = \overline{1,+\infty}$.

Это противоречие и доказывает теорему.

$ \blacksquare $

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $ f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} $ не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

$ f(x) $ — ограничена и непрерывна. Тогда $ \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $ \exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1) $ $ |x’-x»| < \delta $: $ |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $. Выберем такие подпоследовательности $ x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $.

$ |f(x’) — f(x»)| $ $ = $ $ |\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 $.
$ |x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1} $ $ = $ $ |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| $ $ = $ $ \frac{1}{n(2n-1)} $ $ \rightarrow 0 $.

$ \exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta $ можно выделить такие подпоследовательности $ x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $ $ |x’_n-x»_n| < \frac{1}{n} $.

$ n > \frac{1}{\delta} $: $ |f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon $. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция $ f $ определена на $ [a,b] $. Тогда $ f $ называется равномерно непрерывной, если $ \forall~\varepsilon>0 $ $ \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ $ такие, что $ \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] $, $ |x_1 — x_2| < \delta $, выполняется неравенство $ | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

  1. Показать, что равномерная функция $ f(x)=\frac{1}{x} $ на $ (0,1) $ не является равномерно непрерывной.
    $ \forall \varepsilon > 0 $ $ \exists \delta > 0 $, что $ |\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon $ $ \forall~n $, что $ |x-x_0| < \delta $.
    $ |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon $ $ \Rightarrow $ $ \frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon $ $ \Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0} $ $ \Rightarrow $ $ n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0} $ $ \rightarrow 0 $, $ n \rightarrow \infty $.
    Это значит, что $ |x-x_0| $ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $ \delta $, мы можем приближать $ n_0 $ к $ 0 $ так близко, что $ |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon $, однако $ |n — n_0| < \delta $. Следовательно, функция $ f(x)=\frac{1}{x} $ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $ (0,1) $.

  2. Исследовать на равномерную непрерывность функцию $ f(x) = \frac{x}{4-x^2} $ на отрезке $ [-1,1] $.

    $ |f(x_1) — f(x_2)| $ $ = $ $ |\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}| $ $ = $ $ |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2| $.

    $ |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3} $ $ = \frac{5}{9} < 1 $.

    Зафиксируем произвольное $ \varepsilon > 0 $ и положим $ \delta = \varepsilon $.

    Тогда $ |x_1 — x_2| < \delta$, $ \forall x_1,~x_2 $ $ (x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1]) $ $ | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

    Следовательно, функция $ f(x) $ на $ [-1,1] $ равномерно непрерывна.

  3. Доказать, что функция $ f(x)=\sqrt{x} $ равномерно непрерывна на $ [1,+\infty] $.

    По теореме Лагранжа $ \forall x_1\geq 1 $ и $ \forall x_2\geq 1 $

    $ |f(x_2)-f(x_1)| $ $ = $ $ |f(\xi)||x_2-x_1| $ $ = $ $ \frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1| $

    Если для $ \varepsilon>0 $ выбрать любое $ \delta $, $ 0<\delta\leq2\varepsilon $, то при $ |x_2-x_1|<\delta $ выполняется $ ~ $ $ |f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon $, иначе говоря, $ f(x)=\sqrt{x} $ является равномерно непрерывной на $ [1,+\infty] $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Теорема Кантора

Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на компактном множестве $M\subset R^{n}$.

$\forall x_{0} \in M,$ $\forall \varepsilon’ > 0,$ $\exists \delta’ = \delta'(x_{0}, \varepsilon’)>0$

такое, что если $x\in M,$ то$\rho(x_{0}, x)<\delta’,$ то $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon’$. Выберем произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\varepsilon’=\frac{\varepsilon}{2}$. Построим для каждой точки $x_{0}\in M$ окрестность

$U(x_{0}, \frac{\delta’}{2})=$ $U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon’)}{2})$

Объединение таких окрестностей покрывает множество $K$. Поскольку $K$ — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}$ такое, что

$K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})$.

Положим $\delta= min(\frac{\delta’_{1}}{2}, … , \frac{\delta’_{m}}{2})$. Возьмем произвольные точки $x, y \in M,$ для которых $\rho<\delta$. Поскольку $M$ покрывается системой $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m},$ то найдется такой номер $k_{0},$ что $x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta’_{k_{0}}}{2})$. Тогда $\rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta’_{k_{0}}}{2}$ и $\rho(x_{k_{0}}, y) \le$ $\rho(x_{k_{0}}, x) + $ $\rho(x_{k_{0}}, y)<$ $\frac{\delta’_{k_{0}}}{2}+\delta<$ $\delta’_{k_{0}}$. Следовательно

$|f(x)-f(y)|\le$ $|f(x)-f(x_{k_{0}})| + $ $|f(x_{k_{0}})-f(y)|<$ $\varepsilon’+ \varepsilon’ =$ $\varepsilon$

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

Непрерывность сложной функции


Теорема 1

Пусть функции $\varphi _{1},…,\varphi _{n}$ определены в некоторой окрестности точки $x_{0}\in R^{m}$ и непрерывны в точке $x_{0}$, а функция $f(y)=f(y_{1},…,y_{n})$определена в окрестности точки $y_{0}=(\varphi _{1}(x_{0}),…,\varphi _{n}(x_{0}))$ и непрерывна в точке $y_{0}$. Тогда в некоторой окрестности точки $x_{0}$ определена сложная функция. $\Phi (x)=f \big( \varphi _{1}(x),…,\varphi _{n}(x) \big) $ причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$.
Воспользуемся доказательством в случае одной переменной.

Теорема о непрерывности сложной функций

Пусть функция $\varphi (t) $ непрерывна в точке $t_{0}$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}=\varphi(t_{0})$. Тогда функция $f(\varphi(t))$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем:
$f(x)$ непрерывна в $x_{0}$ $\forall \varepsilon > 0 \;, \quad \exists \delta \; \quad \forall x \quad \left | x-x_{0} \right |< \delta $  $\left | f(x)-f(x_{0}) \right | <\varepsilon $ $ \quad \psi (e)$ непрерывна в $t_{0}$ $\forall \delta >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad $ $\left | t-t_{0} \right | < \eta \; \quad \left | \varphi (t)-\varphi(t_{0}) \right | < \delta$ Выписывая  кванторы, получим, что:
$$\forall \varepsilon >0 \; \quad \exists \eta \; \quad \forall t \quad \left | t-t_{0}\right | < \eta \quad \left | f\Big( \varphi (t) \Big)-f\Big((\varphi t_{0})\Big) \right | < \varepsilon $$ что и говорит о том, что $f\big(\varphi (t)\big)$ непрерывна в точке $t_{0}$.

Источники:

  1. Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 237-238
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»