Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть f(x) не изменяет знак на полуинтервале \left[ a ,b \right) и для любого \xi из данного полуинтервала f(x) интегрируема по Риману на отрезке\left[ a ,\xi \right]. Тогда для сходимости несобственного интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} необходимо и достаточно, чтобы функция \Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx } была ограничена на \left[ a ,b \right).

Рисунок показать

Доказательство

Докажем вначале теорему для f(x) неотрицательной. Покажем, что функция \Phi (\xi ) возрастает. Действительно, для любых {\xi}_{1}, {\xi}_{2} из \left[ a ,b \right), {\xi}_{1}<{\xi}_{2}
$$ \Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$$ так как f(x) неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } сходится тогда, когда существует конечный предел $$ \underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции \Phi (\xi ).

В случае если f(x) — неположительная, то рассмотрим функцию g(x) = -f(x) — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Пример показать

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть f(x) определена на полуинтервале \left[ a ,b \right). Для сходимости несобственного интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого \varepsilon > 0 найдется такое \delta\in\left[ a ,b \right), что для любых { \xi  }_{ 1 },{ \xi  }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right) выполняется неравенство \left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon.

Доказательство

Обозначим функцию \Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}. Тогда, сходимость интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} означает существование конечного предела \underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi), а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция \Phi(\xi) удовлетворяет условию
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$$
И в силу свойств интеграла получаем $$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о смешанных производных

Теорема 1(для функции двух переменных)

Пусть функция $f(x,y)$ определенна со своими частными производными ${ f }_{ x },{ f }_{ y },{ f }_{ xy },{ f }_{ yx }$ в некоторой окрестности точки $({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$, и при этом ${ f }_{ xy }$ и  ${ f }_{ yx }$ непрерывны в этой точке. Тогда  эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования). $${ f }_{ xy }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })={ f }_{ yx }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) \quad \quad (1)$$
Доказательство показать
Пример показать
Контрпример показать

Теперь сформулируем общую теорему. Ее можно несложно доказать с помощью индукции.

Теорема 2(обобщение)

Если у функции $n$ переменных смешанные частные производные $m$-го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка $m$  не зависят от порядка дифференцирования.
Замечание 1 показать

Замечание 2 показать

Теорема о смешанных производных

Тест, на понимание темы «Теорема о смешанных производных»

Таблица лучших: Теорема о смешанных производных

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства \mathbb{R}^n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество F \subset \mathbb{R}^n имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество F является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку F еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, F компактно. Для каждой точки x \in F построим такую окрестность U_x, в которой нет других точек из F, кроме x (если бы для какой-то точки x такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для F). Тогда семейство \left\{U_x \right\}_{x \in F} образует открытое покрытие компактного множества F. Пользуясь компактностью F, выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества E. Но это противоречит тому, что множество E бесконечно.\square
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству E.

Литература:

Критерий компактности в n-мерном пространстве (Теорема Гейне – Бореля)

Теорема Гейне – Бореля. Чтобы множество K \subset \mathbb{R}^n являлось компактным, необходимо и достаточно, чтобы K было ограниченным и замкнутым.

Доказательство. Достаточность. Пусть K замкнуто и ограничено. Тогда найдется сегмент I \subset \mathbb{R}^n, содержащий K. В силу леммы Гейне – Бореля, этот сегмент I компактен. Поэтому, в силу свойств компактных множеств, компактно также его замкнутое подмножество K. Необходимость. Пусть K —  компакт. Докажем, что данное множество ограничено. Обозначим через B_s открытый шар с центром в точке 0 радиуса s. Тогда последовательность шаров\left\{B_s\right\}^{\infty}_{s=1} покрывает все пространство \mathbb{R}^n, а следовательно, и множество K. Так как K компактно, следовательно, оно может быть покрыто конечным набором шаров B_s. Среди всех этих шаров выберем шар с наибольшим радиусом. Пусть это шар B^{\ast}. Тогда ясно, что K \subset B^{\ast}, так что K ограничено. Покажем теперь, замкнутость множества K. Для этого достаточно показать, что любая точка y \notin K, не будет предельной для K. Итак, пусть y \notin K. Рассмотрим множества G_k = c\overline{B}(y, \frac{1}{k}) (k = 1,2,...). Так как замкнутый шар \overline{B}(y, \frac{1}{k}) – множество замкнутое, следовательно его дополнение G_k открыто. Кроме того, ясно, что \bigcup^{\infty}_{k=1}G_k = \mathbb{R}^n \setminus \left\{y\right\}. Поскольку y \notin K, то совокупность множеств G_k (k = 1,2,...) образует открытое покрытие множества K. Пользуясь компактностью K, выберем из этого покрытия конечное подпокрытие \left\{G_{k_1},...,G_{k_s}\right\} и положим \rho = \frac{1}{max\left\{k_1,...,k_s\right\}} > 0. Отсюда следует, что шар B(y,\rho) не имеет общих точек с множеством K. Получаем, что точка y не будет предельной для K\square

Литература: