Определение. Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ сопряженным с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $$\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$$
Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.
Теорема (существование и единственность сопряженного оператора). Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$
$$ A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$$
Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).
Существование. С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$
$$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$$
Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$
$$\left(Ax,y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $$= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$$ (по определению линейного оператора) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$$
Найдем скалярное произведение:
$$\left(x,A^*y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$$
Получили $$\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.
Примеры решения задач
- Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $$Ax=\left[a,x\right].$$ Найти сопряженный оператор.
Решение
Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:
$\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$
Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$
Ответ: $-A.$
[свернуть] - Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$
Решение
Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$
[свернуть] - Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.
Решение
Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
$$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$$ $$A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$$Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
$$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$$Подробно распишем правую часть
$$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$$ $$=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$$
Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$$
Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
$$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$$По аналогии с первой частью
$$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$$
Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$$
[свернуть]
Сопряженный оператор
Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»
Смотрите также
- Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
- Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
- Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
- Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)