Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{p}x^{p}+c_{p-1}x^{p-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ где $p=\max\left(m,n\right).$ По определению суммы двух многочленов, коэффициенты $s\left(x\right)$ равны $$c_{i}=a_{i}+b_{i},\; \left(i = 0, 1, \ldots, p-1, p\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $s\left(x\right)$ при $x^{p}:$ $$c_{p}=a_{n}+b_{m},$$ если они существуют, т.е. если $n=m.$ Если же $n>m,$ то $c_{p}=a_{n}.$ Иначе, $n<m$ и $c_{p}=b_{m}.$ Таким образом, степень $s\left(x\right)$ не будет больше $\max\left(m,n\right).$ В случае же $m=n$ и $a_{n}=-b_{m},$ $c_{p}=0$ и степень $s\left(x\right)<p.$
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
Какой степени будет сумма $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=7x^7+19x^6+39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20?$$ Решение
Воспользуемся леммой. Пусть $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right).$ Поскольку $\deg\left(v\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)=7,$ коэффициентмногочлена $s\left(x\right)$ при $x^{7}$ равен $c_{7}=10+7=17\neq 0.$ Следовательно, $\deg\left(s\left(x\right)\right)=7.$
Определить степеньсуммымногочленов $u\left(x\right)+v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=45x^7-47x^6-x^5-140x^4+10x^3+13x^2+24x+12,$$ $$v\left(x\right)=-45x^7+47x^6+x^5+27x^4+12x^3+6x^2+2x+21.$$ Решение
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени суммы двух многочленов».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 3
Какой степени будет многочлен $s\left(x\right),$ если: $$s\left(x\right)=-u\left(x\right)+v\left(x\right)+u\left(x\right),$$ где $u\left(x\right)$ — произвольный многочлен, $v\left(x\right)=2x+3?$ (В ответ введите только число)
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 2
Чему будет равна $\deg \left(s\left(x\right)\right),$ если $$u\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3-27x^2+54x+88,$$ $$v\left(x\right)=40x^7-34x^6+90x^5-25x^4+147x^3+27x^2-54x+88,$$ $$s\left(x\right)=u\left(x\right)-v\left(x\right).$$
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 2
Вычислите $\deg\left(s\left(x\right)\right),$ если $s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)$ и $\deg\left(u\left(x\right)\right)=12,$ $\deg\left(s\left(x\right)\right)=14.$ (В ответ введите только число)
Очевидно, $P\left[x\right]\neq \varnothing,$ $+$ — БАО. Проверим выполнение аксиом абелевой группы:
Ассоциативность операции: $$\forall u\left(x\right),v\left(x\right),w\left(x\right) \in P\left[x\right]: \left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right).$$ Как известно, операция сложения многочленов обладает ассоциативностью.
Коммутативность операции: $$\forall u\left(x\right),v\left(x\right) \in P\left[x\right]:u\left(x\right)+v\left(x\right)=v\left(x\right)+u\left(x\right).$$ Сложение многочленов также обладает и коммутативностью.
Покажем что существует нейтральный элемент по сложению, а именно: $$\exists e \in P\left[x\right]\; \forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]: u\left(x\right)+e=e+u\left(x\right)=u\left(x\right).$$ Таким элементом выступает число $0,$ которое можно рассматривать как одночлен, или как многочлен с коэффициентами равными нулю. Из определения сложения многочленов, сложение с ним не изменит коэффициенты исходного многочлена, т.к. $0$ является нейтральным элементом для сложения чисел.
Наконец, покажем существование противоположного элемента: $$\forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]\; \exists -u\left(x\right)\in P\left[x\right]: u\left(x\right)+\left(-u\left(x\right)\right)=-u\left(x\right)+u\left(x\right)=e=0.$$ Получить такой элемент для любого многочлена можно просто заменив все его коэффициенты на противоположные (простыми словами — поменяв их знаки). Суммой таких многочленов, в силу противоположности их коэффициентов как чисел, будет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, или просто $0.$
Очевидно, операция сложения многочленов сохраняет все свои свойства на этом множестве, а нейтральный и противоположный элементы ему принадлежат $\Rightarrow$ все аксиомы выполняются. Также, $+$ остается БАО, а $P^3\left[x\right]\neq \varnothing.$ Значит, ответ положительный.
Аналогично первому примеру, $P^3\left[x\right]\neq \varnothing.$ Однако, в случае умножения, произведением двух многочленов $3$-й степени будет многочлен $6$-й степени (по лемме о степени произведения), что выходит за границы рассматриваемого множества. Значит, $\left( P^3\left[x\right],\cdot \right)$ — не абелева группа.
Как называется элемент $e,$ для которого выполняется: $$\forall u\left(x\right) \in P\left[x\right]: u\left(x\right)+e=e+u\left(x\right)=u\left(x\right).$$ (1 слово)
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 5
Вставьте пропущенные слова.
Нулевой многочлен выступает (нейтральный, нейтральным) элементом для операции сложения многочленов. Его можно получить, сложив два (противоположных, нулевых) многочлена.
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Будем считать, что $n\geqslant m.$ Тогда их суммой является многочлен $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ каждый коэффициент $c_{i}$ которого получается сложением соответствующих коэффициентов $a_{i}$ и $b_{i},$ $\left(i = 0, 1, \ldots, n-1, n\right).$ Причём, если $n\geqslant i>m,$ то считаем, что $b_{i}=0.$
Замечание. Можно определить и вычитание многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен $\left(0\right),$ а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$-u\left(x\right)=-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}.$$
Пусть $$u\left(x\right)+v\left(x\right)=s_{1}\left(x\right),\; v\left(x\right)+u\left(x\right)=s_{2}\left(x\right).$$ Рассмотрим коэффициенты $s_{1}\left(x\right)$ и $s_{2}\left(x\right).$ Они равны в силу коммутативности сложения чисел $\left(a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i}\right),$ а значит, $s_{1}\left(x\right)=s_{2}\left(x\right),$ что доказывает коммутативность сложения многочленов.
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно. Зададим их суммы: $$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=f\left(x\right),$$ $$u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ Рассмотрим общие формулы их коэффициентов: $$f_{i}=\left(a_{i}+b_{i}\right)+c_{i},$$ $$g_{i}=a_{i}+\left(b_{i}+c_{i}\right).$$ Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.
Умножение многочленов
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Тогда их произведением является многочлен $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ образующийся в результате простого умножения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\; \left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$
Рассмотрим многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ из определения произведения. Пусть $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}.$$ Тогда, коэффициенты многочлена $f\left(x\right)$ равны $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ а многочлена $g\left(x\right)$ — $\displaystyle d_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}b_{\beta}a_{\alpha}.$ Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right),$ а значит, $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)$ и коммутативность доказана.
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно, а именно: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$w\left(x\right)=c_{s}x^{s}+c_{s-1}x^{s-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ Теперь, зададим их произведения в нужном порядке: $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)=r_{m+s}x^{m+s}+r_{m+s-1}x^{m+s-1}+\ldots+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0},$$ $$h\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=k_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0},$$ $$l\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right)=p_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}.$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов $h\left(x\right)$ и $l\left(x\right).$ Рассмотрим общую формулу коэффициента $h\left(x\right):$ $$\displaystyle k_{i}=\sum_{q+\gamma =i}d_{q}c_{\gamma }=\sum_{q+\gamma =i}\left( \sum_{\alpha +\beta =q}^{}\left(a_{\alpha }b_{\beta }\right)\cdot c_{\gamma }\right) = \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Теперь покажем, что общую формулу коэффициента $l\left(x\right)$ можно привести к такому же виду: $$\displaystyle p_{i}=\sum_{\alpha+q=i}a_{\alpha}r_{q}=\sum_{\alpha+q=i}\left( a_{\alpha}\cdot \sum_{\beta+\gamma=q}b_{\beta}c_{\gamma} \right)= \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
Сложить многочлены $3x^4+2x^3-4x^2-8x+10$ и $8x^3-4x^2-9x-10.$
Решение
Найти разность $7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19$ и $5x^7-10x^5+7x^4+x^3+11x^2+20x+11.$
Решение
Сложим первый многочлен с противоположным второму: $$7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19 +$$ $$+\left(-5x^7+10x^5-7x^4-x^3-11x^2-20x-11\right)=$$ $$=\left(7-5\right)x^7+\left(10+0\right)x^6+\left(-20+10\right)x^5+\left(10-7\right)x^4+$$ $$+\left(-13-1\right)x^3+\left(8-11\right)x^2+\left(11-20\right)x+\left(19-11\right)=$$ $$=2x^7+10x^6-10x^5+3x^4-14x^3-3x^2-9x+8.$$
Найти произведение $2x^2+5x-1$ и $4x^2-x+3.$
Решение
Умножим два многочлена и приведём подобные: $$\left(2x^2+5x-1\right)\cdot \left(4x^2-x+3\right)=$$ $$=8x^4-2x^3+6x^2+20x^3-5x^2+15x-4x^2+x-3=$$ $$=8x^4+\left(20-2\right)x^3+\left(6-5-4\right)x^2+\left(15+1\right)x-3=$$ $$=8x^4+18x^3-3x^2+16x-3.$$
Найти произведение $-3x^2+7x+9$ и $6x^2+2x+8.$
Решение
На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда: $$u\left(x\right)=-3x^2+7x+9,\;a_{2}=-3,a_{1}=7,a_{0}=9,$$ $$v\left(x\right)=6x^2+2x+8,\;b_{2}=6,b_{1}=2,b_{0}=8,$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{4}x^4+c_{3}x^3+c_{2}x^2+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению, $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ $\left(i=0,1,2,3,4\right).$ Вычислим их. $$c_{0}=\sum_{\alpha+\beta=0}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{0}=9\cdot 8=72,$$ $$c_{1}=\sum_{\alpha+\beta=1}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=9\cdot 2 + 7\cdot 8=74,$$ $$c_{2}=\sum_{\alpha+\beta=2}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=9\cdot 6+7\cdot 2+\left(-3\right)\cdot 8=44,$$ $$c_{3}=\sum_{\alpha+\beta=3}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}=7\cdot 6+\left(-3\right)\cdot 2=36,$$ $$c_{4}=\sum_{\alpha+\beta=4}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{2}b_{2}=-3\cdot 6=-18.$$ Имеем: $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=-18x^4+36x^3+44x^2+74x+72.$$
Пусть $$u\left(x\right)=3x^4+5x^3+2x^2+x+4,$$ $$v\left(x\right)=3x^2+2x+5.$$ Установите соответствия между операциями и их результатами:
Элементы сортировки
$3x^4+5x^3+5x^2+3x+9$
$9x^6+21x^5+31x^4+32x^3+24x^2+13x+20$
$3x^4+5x^3-x^2-x-1$
$-3x^4-5x^3+x^2+x+1$
$u\left(x\right)+v\left(x\right)$
$u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$
$u\left(x\right)-v\left(x\right)$
$v\left(x\right)-u\left(x\right)$
Задание 6 из 6
6.
Количество баллов: 3
Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=2x^3+4x^2+6x+1,$$ $$v\left(x\right)=x^3+7x^2+3x+8.$$ Чему будет равен коэффициент при $x^3$ у многочлена $p\left(x\right)=u\left(x\right)*v\left(x\right)?$ (Введите только число)
Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $latex a_{0} $ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i} $ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9) $ назовём вещественным (или действительным) числом.
(если перед дробью стоит $latex +$, то его опускают)
Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R} $.
Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.
$latex \alpha < \beta $, либо когда $latex a_{0} < b_{0} $, либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} $.
2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta $ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta $.
3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — отрицательные, тогда
Приближение вещественных чисел рациональными числами
Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.
Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$
Обрывая эту дробь на $latex n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна $latex \frac{1}{10^{n}}$.
Возьмём, например $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.
Получаем $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.
Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$ существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$ такие, что $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$ $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.
Лемма
Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$latex \square$ $latex 1) $ Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$latex 1) $ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta $ иррациональное.
Допустим $latex \beta $ — иррациональное, тогда $latex \beta $ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta $), тогда существует номер $latex p$, такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$, $latex a_{p}<b_{p}$.
Так как $latex \beta $ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$. Поэтому существует номер больше $latex p$. Например $latex p+n$, такой что $latex b_{p+n}>0$.
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $latex r$, такое что $latex \alpha<r<\beta$. $latex \blacksquare$
Аксиомы действительных чисел
Множеством $latex \mathbb{R} $ называется множество, на котором выполняются следующие условия:
$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$ a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно); b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно); с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента); d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$ $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$.
$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$ а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения); b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения); с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента); d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается $latex \frac{a}{b}$ или $latex a:b$.
$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$, либо $latex a>0$.
При этом, если $latex a>0$ и $latex b>0$ $latex \Rightarrow$ $latex a+b>0$, $latex ab>0$.
Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.
Если $latex a-b>0$, то пишут $latex a>b$;
Если $latex a-b<0$, то пишут $latex a<b$;
Если $latex a-b=0$, то пишут $latex a=b$.
Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$ означает, что $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента) и $latex A \leq B$, то $latex a \leq B$. Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$ нет «щелей», а именно справедлива:
Аксиома непрерывности
$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$. Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$ Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).
