Задача из журнала «Квант» (2000 год, 4 выпуск)

Условие

Хорды $AC$ и $BD$ окружности с центром $O$ пересекаются в точке $K$ (рис.$1$). Точки $M$, $N$ — центры окружностей, описанных около треугольников $AKB$ и $CKD$. Докажите, что $OMKN$ — параллелограмм.

А.Заславский

<12>Решение

Пусть $X$ — середина $KB$ (рис.$2$). Тогда $\angle KMX=\displaystyle\frac{1}{2}\angle KMB=\angle KAB=\angle KDC$. Поскольку $MX\bot BD$, то $KM\bot CD$. Так как при этом $ON\bot CD$, то $ON\|KM$. Аналогично, $OM\|KN$. Если точки $O$, $K$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой, то $OMKN$ — параллелограмм и $OM=KN$. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков $OM$ и $KN$ на $AC$. Так как точки   $O$, $M$, $N$ проектируются в середины отрезков $AC$, $AK$ и $KC$ соответственно, то проекции обоих параллельных отрезков равны $\displaystyle\frac{KC}{2}$, следовательно, равны и длины самих отрезков.

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника [latex]F[/latex] расположен второй выпуклый многоугольник [latex]G[/latex]. Хорда многоугольника [latex]F[/latex] — отрезок, концы которого лежат на границе [latex]F[/latex], — называется опорной к многоугольнику [latex]G[/latex], если она пересекается с [latex]G[/latex] только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону [latex]G[/latex]. Докажите, что:

• найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе [latex]G[/latex];
• найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от [latex]F[/latex] хордами, опорными к [latex]G[/latex] (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются [latex]G[/latex] своими серединами.

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] — опорная к [latex]G[/latex] прямая, составляющая угол [latex]\varphi [/latex] с некоторым фиксированным направлением [latex]l_{0}[/latex]. Мы считаем, что [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] — направленная прямая, [latex]G[/latex] содержится в её правой полуплоскости; [latex]G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)}[/latex] — одна точка (вершина [latex]G[/latex]) или отрезок (сторона [latex]G[/latex]). Ясно, что для каждого [latex]\varphi [/latex], [latex]0\leq \varphi <2\pi [/latex], прямая [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] определена однозначно. Рассмотрим площадь [latex]S=S\left(\varphi \right)[/latex] «сегмента», отрезаемого прямой [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] от [latex]F[/latex], — пересечения [latex]F[/latex] с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что [latex]S=S\left(\varphi \right)[/latex] — непрерывная функция от [latex]\varphi [/latex] на отрезке [latex]0\leq \varphi <2\pi [/latex], где [latex]S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right)[/latex].

Пусть [latex]AB[/latex] — хорда, высекаемая многоугольником [latex]F[/latex] на прямой [latex]l\left(\varphi \right)[/latex], и [latex]K[/latex] — её середина. Докажем, что если [latex]K[/latex] не лежит на границе с [latex]G[/latex], то в некоторой окрестности [latex]\varphi [/latex] функция [latex]S[/latex] монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] прямую [latex]l\left(\varphi +\delta \right)[/latex] и соответствующую хорду [latex]A_{1}B_{1}[/latex]. При достаточно малом [latex]\delta [/latex] прямая [latex]l\left(\varphi +\delta \right)[/latex] получается из [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] поворотом вокруг некоторой точки [latex]P\in G\left(\varphi \right)[/latex], лежащей на границе [latex]G[/latex], а разность площадей [latex]S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right)[/latex] равна разности площадей треугольников [latex]APA_{1}[/latex] и [latex]BPB_{1}[/latex] (рис.2). Если [latex]PA<PB[/latex], то (при малом [latex]\delta [/latex]) [latex]PA_{1}<PB_{1}[/latex] и площадь треугольника [latex]APA_{1}[/latex] меньше площади треугольника [latex]BPB_{1}[/latex] (треугольник, симметричный [latex]APA_{1}[/latex] относительно [latex]P[/latex], лежит внутри [latex]BPB_{1}[/latex]); таким образом, при всех достаточно малых [latex]\delta >0[/latex] выполнено неравенство [latex]S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right)[/latex].

Рис.2

Аналогично, [latex]S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right)[/latex] при достаточно малом [latex]\varepsilon [/latex] — прямая [latex]l\left(\varphi -\varepsilon \right)[/latex] получается поворотом [latex]l\left(\varphi \right)[/latex] вокруг точки [latex]P’\in G\left(\varphi \right)[/latex], либо совпадающей с [latex]P[/latex], либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины [latex]K[/latex], так что [latex]AP'<BP'[/latex]. Итак, если [latex]G\left(\varphi \right)[/latex] лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от [latex]K[/latex], то в окрестности [latex]\varphi[/latex] функция [latex]S[/latex] убывает. Если [latex]G\left(\varphi \right)[/latex] расположена по другую сторону от [latex]K[/latex], то в окрестности [latex]\varphi [/latex] функция [latex]S[/latex] возрастает.

Однако непрерывная функция [latex]S = S\left(\varphi \right)[/latex] (принимающая равные значения на концах отрезка [latex]\left[0, 2\pi \right][/latex]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды [latex]K[/latex] должна лежать в [latex]G\left(\varphi \right)[/latex], т.е. принадлежать границе [latex]G[/latex].

Н.Васильев