Определение

Пусть задан ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ($R\geq0$ — число или $+\infty$) такое, что:

1. Если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
2. Если $R=0$, то данный ряд сходится в одной точке [latex]z=0[/latex].
3. Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$.

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$.

1. Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$, что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$). Следовательно, $z_{1} \in D$. Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$.
2. Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$, то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$.
3. В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$, то $$R=sup\left|z \right|, z \in D.$$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$, a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$. Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$. По определению точной верхней грани это означает, что $$\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$, то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$. Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$. Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$. Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$. Что и требовалось доказать.

Литература

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 102-103.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 427-430
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 54-56

Существование радиуса сходимости

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Расположите степенные ряды в порядке увеличения радиуса сходимости.

   • $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}} $
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}$
   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n}\sqrt{n}},\;\;\;R=1.5.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot 4^{n}}, \;\;\; R=2.$
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{{\left | x+4 \right |}^{n}}{n^{2}\cdot 3^{n}}, \;\;\; R=3.$
   $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{{\left ( x+3 \right )}^{n}}{n!} \;\;\; R=+\infty.$
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 4

   Укажите степенные ряды, радиус сходимости которых равен единице.

   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{a^{\sqrt{n}}} \;\;\; \left ( a>0 \right )$
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( 2n \right )!!}{\left ( 2n+1 \right )!!}x^{n} $
   • $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}$
   Правильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4. $
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

   Неправильно
   

   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}, \;\;\; R=+\infty.$
   $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( n! \right )^{2}}{\left ( 2n \right )!}x^{n}, \;\;\; R=4. $
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}x^{n}, \;\;\; R=\frac{1}{e}.$

Определение

Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и является бесконечно дифференцируемой (имеет в данной точке производные всех порядков), то степенной ряд вида $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^n$$ называется рядом Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$, где числа $$a_{n}=\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!} \;\;\; \left(n=0,1,2,\ldots \right)$$ это коэффициенты Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$.

Сходимость ряда Тейлора к функции

Пусть функция $f\left(x\right)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_{0}$. Поставим ей в соответствие формулу Тейлора: $$f\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}+r_{n}\left(x\right),$$ где $r_{n}\left(x \right)$ — остаток в формуле Тейлора. Обозначим, $$S_{n}\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n},$$ где $S_{n}\left(x\right)$— частичная сумма данного ряда Тейлора данной функции. Следовательно, можем записать равенство: $$f\left(x \right)=S_{n}\left(x \right)+r_{n}\left(x \right).$$ Тогда для того, чтобы $\lim\limits_{ n \to \infty}s_{n}\left(x \right)=f\left(x\right)$, функция $f\left(x\right)$ на заданном интервале должна быть равной сумме своего ряда Тейлора.

Таким образом, для сходимости ряда Тейлора функции $f\left(x\right)$ к функции $f\left(x\right)$ на некотором интервале необходимо и достаточно , чтобы для всех $x$ из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю: $$\lim\limits_{ n \to \infty}r_{n}\left(x \right)=0. $$

Литература

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 116-125.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 434-438
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 67-75

Коэффициенты Тейлора

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Предлагаю пройти Вам данный тест на закрепление материала по данной статье.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Дан степенной ряд вида $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^n. (1)$$ Вставьте пропущенные слова

   • Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и является (бесконечно дифференцируемой) то степенной ряд вида (1) называется (рядом Тейлора) функции $f$ в окрестности точки $x_0$.

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Укажите соответствие между функцией и ее рядом Тейлора.

   Элементы сортировки

   • $x+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( -1 \right )^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n\left ( n+1 \right )} $
   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+1}}{4n+1} \;\;\;\left ( -1<x<1 \right )$
   • $\arctan 2 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{n}2^{2n-1}}{2n-1}x^{2n-1}$

   • $f\left ( x \right )=\left ( 1+x \right )\ln \left ( 1+x \right )$

   • $f\left ( x \right )=\frac{1}{4}\ln \left ( \frac{1+x}{1-x} \right )+\frac{1}{2}\arctan x$

   • $f\left ( x \right )=\arctan\frac{2-2x}{1+4x}$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ сходится при $z=z_0\neq0$, то он сходится, и притом абсолютно, при любом $z$, для которого $\left|z\right|<\left|z_{0}\right|$.

Доказательство

По условию ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится при $z=z_{0}$. Обозначим:
$$K=\left\{z:\left|z\right|<\left|z_{0}\right|\right\}.$$

Положим, что $\rho=\frac{\left|z \right|}{\left|z_{0} \right|}$. Причем так как $\left|z \right|<\left|z_{0} \right|$, то $\rho<1$.

Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ в точке $z_{0}$ следует сходимость числового ряда вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z_{0}^{n}$. Следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда, а именно: $$\lim\limits_{ n \to 0}a_{n}z_{0}^{n}=0.$$

Тогда последовательность $\left\{a_{n}z_{0}^{n}\right\}$ ограничена, т.е. $$\exists M>0\; \forall n:\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|< M.$$

Имеем следующее: $\left|a_{n}z^{n}\right|=$$\left|a_{n}z^{n}\right|\cdot \left|\frac{z_{0}^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\cdot\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\cdot\left|\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\rho^{n} < M\rho^{n}. $

Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}M\rho^{n}$. Так как мы знаем, что $0\leq\rho<1$, то, в силу необходимого условия сходимости ряда, данный ряд сходится.

Тогда, по признаку сравнения в форме неравенств, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится абсолютно для $\forall z \in K$.

Следствие 1

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ расходится при $z=z_{0}\neq0$, то он расходится при любом $z$, для которого $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$.

Следствие 2

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится в точке $z_{0}\neq0$, то в замкнутом круге $K_1=\left\{z:\left|z\right|\leq \vartheta\right\}$, где $\vartheta<\left|z_{0}\right|$ этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

• Лысенко З.М. Конспекты лекций.
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2. стр 101-102.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. стр 425-427
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу, часть 2. стр 53-54

Теорема Абеля

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест на закрепление вышеизложенного материала.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 2 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Продолжите следствие из теоремы Абеля.
   Если степенной ряд [latex]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}[/latex] сходится в точке [latex]z_{0}\neq0[/latex], то в замкнутом круге [latex]K_1=\left\{z:\left|z\right|\leq \vartheta\right\}[/latex], где [latex]\vartheta<\left|z_{0}\right|[/latex] этот ряд [latex]\ldots[/latex]

   • сходится абсолютно
   • сходится абсолютно и равномерно
   • сходится равномерно
   • сходится условно
   • расходится
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Согласно следствию из теоремы Абеля, если степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится при $z=z_{0}\neq0$, то при любом $z$, для которого $\left | z \right | > \left | z_{0} \right |$, исходный ряд $\ldots$
   Правильно
   

   Неправильно