Понятие радиуса сходимости. Существование радиуса сходимости

Определение

Пусть задан ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.$$ Если существует такое неотрицательное число $R$ (конечное или равное $+\infty$ ), что $\forall z:\left | z \right |<R$ ряд сходится, а для $\forall z:\left | z \right |>R$ ряд расходится, то $R$ называют радиусом сходимости степенного ряда.

Спойлер

Множество точек $z$, для которых степенной ряд сходится, называется кругом сходимости степенного ряда.

[свернуть]

Теорема о существовании радиуса сходимости

Для всякого степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ существует $R$ ($R\geq0$ — число или $+\infty$) такое, что:

  1. Если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.
  2. Если $R=0$, то данный ряд сходится в одной точке z=0.
  3. Если $R\neq0$ и $R\neq+\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ абсолютно сходится в круге $K=\left\{z:\left |z \right |< \left | z_{0} \right | \right\}$ и расходится вне замыкания круга $K$.

Доказательство

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Данное множество не является пустым, так как обязательно содержит точку $z=0$.

  1. Рассмотрим ситуацию, когда множество $D$ не ограничено. Пусть точка $z_{1}$ — произвольная точка комплексной плоскости. Тогда возьмем такое $z_{0} \in D$, что $\left|z_{1} \right|<\left|z_{0} \right|$ (существование такой точки $z_{0}$ следует из неограниченности множества $D$). Следовательно, $z_{1} \in D$. Таким образом, всякая точка комплексной плоскости принадлежит области сходимости. Обозначают: $R=+\infty$.
  2. Если $D$ ограничено и содержит только одну точку $z=0$, то ряд сходится только в точке $z=0$ и расходится в любой дугой точке комплексной плоскости. Пишут: $R=0$.
  3. В том случае, когда множество $D$ ограничено и содержит хотя бы одну точку помимо $z=0$, то $$R=sup\left|z \right|, z \in D.$$ Докажем, что данный ряд сходится в круге $K=\left\{z:\left | z \right |<R\right\}$, a вне замыкания круга — расходится.(рис. 1) Пусть точка $z_{k} \in K$. Следовательно, $\left|z_{k} \right| < R$. По определению точной верхней грани это означает, что $$\exists z_{1} \in D:\left|z_{k} \right| < \left|z_{1} \right| < R.$$ Так как ряд сходится в точке $z_{1}$, то, по теореме Абеля, он абсолютно сходится в точке $z_{k}$. Таким образом, ряд абсолютно сходится в каждой точке, лежащей внутри круга $K$. Пусть точка $z_{2}$ лежит вне замыкания круга $K$ (рисунок). Тогда $\left|z_{2} \right| > R$. Следовательно, данная точка не принадлежит области сходимости по определению точной верхней грани. Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{2}$. Что и требовалось доказать.

radex

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}$$ сходится при $\left|x \right| < 1$ и расходится при $\left|x \right|\geq1$. Следовательно, $ R=1 $.

[свернуть]

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}n!x^{n}.$$ Так как известно, что $\forall x\neq0: \lim\limits_{ n \to \infty}n!x^{n}=\infty$, то, в силу невыполнения необходимого условия сходимости, данный ряд расходится. Но, с дугой стороны, ряд сходится при $x=0$. Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$, а значит, $ R=0 $.

[свернуть]

Спойлер

Найти радиус сходимости заданного ряда.

Ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^2}.$$ При $\left|x\right| \leq 1$ имеем $\left| \frac{ x^{n}}{n^{2}}\right| \leq \frac{1}{n^{2}}$, т. е. данный ряд, в силу признака сравнения, сходится на множестве $\left[-1,1\right]$. Если же $\left|x \right|>1$, то ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости. Таким образом, $R=1$.

[свернуть]

Литература

Существование радиуса сходимости

Для закрепления вышеизложенного материала предлагаю пройти тест.


Таблица лучших: Существование радиуса сходимости

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *