1. Определить скалярное произведение векторов $latex X, Y$

$latex X=(2, 1, -1, 2)$, $latex Y=(3, -1, -2, 1)$.

Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:

$latex (X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9$

Ответ: 9.

2. Нормировать вектор $latex X=(1,3,0,-2)$

Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

$latex |X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$

Ответ: $latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$.

3. Определить угол между векторами $latex X, Y$

$latex X= (1, 2, 2, 3)$, $latex Y= (3, 1, 5, 1).$

Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$

Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}$

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ответ: угол между векторами $latex X,Y$ равен $latex 45^\circ$.

4.Определить косинусы внутренних углов треугольника $latex ABC$, заданного координатами  вершин:

$latex A=(1,2,1,2)$, $latex B=(3,1,-1,0)$, $latex C=(1,1,0,1)$

Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.

$latex AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)$

$latex |AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}$

$latex CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)$

$latex |CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}$

$latex AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)$

$latex |AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}$

Воспользовавшись методом решения третей  задачи, найдем косинусы углов $latex A, B, C$.

$latex \cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}$

$latex \cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}$

$latex \cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $latex \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}$, $latex \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}}$,  $latex \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Литература:

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Фаддев Д.К. , Соминский И.С.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972, с.128

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Нормировать вектор $latex X$

   Элементы сортировки

   • $X^{\prime}= (\frac{3}{\sqrt{14}}, 0, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}})$
   • $X^{\prime}= (-\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{2}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, -\frac{2}{\sqrt{14}})$
   • $X^{\prime}= (0, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

   • $X= (3,0,1,2)$

   • $X= (-1,2,1,-2)$

   • $X= (0, -1,-2, 2)$

   Правильно 3 / 3Баллы

   Неправильно / 3 Баллы
2. Задание 2 из 3

   2.

   Найти скалярное произведение $latex X,Y$

   $latex X=(1,2,1,-1)$, $latex Y=(-2,3,-5,-2)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Найти косинус угла между векторами $latex X,Y$

   $latex X=(1,1,1,2)$, $latex Y=(3,1,-1,0)$

   • $$\cos \alpha =\frac{\Pi}{2}$$
   • $$\cos \alpha =0$$
   • $$\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{77}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Делители нуля

Пусть $latex R$ — кольцо, $latex a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$. Числа $latex a,b$  называются делителями нуля кольца $latex R$, причем $latex a$ — левый делитель нуля, $latex b$ — правый делитель нуля.

Пример 1:

$latex (C_{[-1;1]},+,\cdot)$ — кольцо непрерывных функций на промежутке $latex [-1,1]$.

$latex f(x)=\begin{cases} x, 0\le x\le 1;\\ 0, -1\le x\le 0.\end{cases}$

$latex g(x)=\begin{cases} -x, -1\le x\le 0;\\ 0, 0\le x\le 1.\end{cases}$

$latex f(x)\cdot g(x)=0$

Пример 2:

Пусть дано $latex P=(M_{2}(R),+,\cdot)$

$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$$latex \begin{pmatrix} -1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$=$latex \begin{pmatrix} 1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$$latex \begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}$

Из равенства видно, что в  кольце $latex P$  присутствуют делители нуля. Как следствие этого, мы можем наблюдать невозможность сокращения обоих частей равенства, так как это приведет нас к неверному равенству, то есть в кольце $latex P$ не действует закон сокращения. Если же в кольце $latex P$ нет делителей нуля, то

$latex a\cdot b=a\cdot c, a\ne 0 \Rightarrow b=c$ — закон сокращения.

Литература:

• Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
• Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.28

Делители нуля

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Составьте определение делителей нуля

   • Пусть $R$ -кольцо
   • $a, b\in R, a,b\ne 0, a\cdot b = 0$
   • числа $a,b$  называются делителями нуля кольца $R$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Вставьте в предложения слова, так чтобы они были правильными.

   • В кольце вещественных матриц порядка 2 (присутствуют) делители нуля. В кольце вещественных чисел (отсутствуют) делители нуля.
   Правильно 2 / 2Баллы

   Неправильно / 2 Баллы

   Подсказка

   Присутствуют или отсутствуют.
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Пусть дано кольцо $latex R$, $latex a, b, c$- делители нуля. Можно ли в выражении $latex a\cdot b=a\cdot c$ сократить обе части на $latex a$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно