Измерения в евклидовом пространстве

1. Определить скалярное произведение векторов $latex X, Y$

$latex X=(2, 1, -1, 2)$, $latex Y=(3, -1, -2, 1)$.

Нам известна теорема о том, что если два вектора $latex a,b$ заданы своими декартовыми прямоугольными координатами, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.
Воспользуемся ей. Получим:

$latex (X,Y)=2\cdot 3 + 1\cdot (-1) + (-1)\cdot (-2) + 2\cdot 1 =9$

Ответ: 9.

2. Нормировать вектор $latex X=(1,3,0,-2)$

Для того, чтобы нормировать вектор нам необходимо найти его модуль, и каждую координату разделить на него.

$latex |X|= \sqrt{1^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

$latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$

Ответ: $latex X’ = (\frac{1}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}},0,-\frac{2}{\sqrt{13}})$.

3. Определить угол между векторами $latex X, Y$

$latex X= (1, 2, 2, 3)$, $latex Y= (3, 1, 5, 1).$

Нам известно, что по определению скалярного произведения $latex (a,b)= |a|\cdot |b| \cos\angle (a,b)\Rightarrow \cos\angle (a,b)= \frac{(a,b)}{|a|\cdot |b|}$

Воспользовавшись тем, что $latex |a|=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{n}^2}$, а также предыдущей формулой и метод нахождения скалярного произведения из первой задачи, получаем:

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{1\cdot 3 +2\cdot 1 + 2\cdot 5 + 3\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+3^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+5^2+1^2}}$

$latex \cos\angle (X,Y)= \frac{18}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{36}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ответ: угол между векторами $latex X,Y $ равен $latex 45^\circ$.

4.Определить косинусы внутренних углов треугольника $latex ABC$, заданного координатами  вершин:

$latex A=(1,2,1,2)$, $latex B=(3,1,-1,0)$, $latex C=(1,1,0,1)$

Для того, что найти соответствующие углы необходимо найти координаты векторов, являющихся сторонами данных углов.
Найдем их.

$latex AB= (3-1,1-2,-1-1,0-2)= (2,-1,-2,-2)$

$latex |AB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2}= \sqrt{13}$

$latex CB= (3-1,1-1,-1-0,0-1)= (2,0,-1,-1)$

$latex |CB|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{6}$

$latex AC= (1-1,1-2,0-1,1-2)= (0,-1,-1,-1)$

$latex |AC|= \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}= \sqrt{3}$

Воспользовавшись методом решения третей  задачи, найдем косинусы углов $latex A, B, C$.

$latex \cos\angle A= \frac{(-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+(-1)\cdot (-2)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}}= \frac{5}{\sqrt{39}}$

$latex \cos\angle B= \frac{2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-2)\cdot (-1)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{6}}= \frac{8}{\sqrt{78}}$

$latex \cos\angle C= \frac{1\cdot (-1) + 1\cdot (-1)}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}= -\frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $latex \cos\angle A= \frac{5}{\sqrt{39}}$, $latex \cos\angle B= \frac{8}{\sqrt{78}}$,  $latex \cos\angle C= -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Литература:

Тест



 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *