Вячеслав Иванов

Дифференциальное исчисление функций многих переменных — важный раздел анализа, имеющий немало приложений в физике, инженерии и прикладной математике. Существенное количество практических задач формулируется в терминах функций от двух переменных — явном выражении поверхностей в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ . В классических курсах анализа их изучают с более общих позиций, рассматривая достаточные критерии экстремума функций вида $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ (также называемых скалярными полями), в терминах которых ведётся дальнейшее изложение.

Определение

Говорят, что функция

$f: \mathbb{E} \subset \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ имеет во внутренней точке

$x_{0}$

локальный минимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \le f(x_{0})$ .
локальный максимум, если $\exists U(x_{0}) \subset \mathbb{E}: \forall f(x) \ge f(x_{0})$ .

Заменой неравенств на строгие получаем условия соответственно строгого локального минимума и максимума.

Определение

Якобианом векторного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \forall x \in \mathbb{R}^{m} f(x) = (f_{1}(x),…,f_{m}(x))$ , дифференцируемого в точке $x$ и непрерывного в некоторой её окрестности $U(x) \in \mathbb{R}^{m}$ называют линейный оператор $\mathbf{J}$ , описывающий наилучшее линейное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющий матрицу вида:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{ 1 } }{ \partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{ 2 } }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{2} }{ \partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f_{m} }{ \partial x_{ m }} (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Якоби (матрица касательного отображения). Для скалярного поля матрица Якоби имеет вид:

${ J }_{ f }(x)=\begin{Vmatrix} \frac { \partial f }{ \partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial f }{ \partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial f }{ \partial x_{ m } } (x) \end{Vmatrix}$

Определение

Гессианом скалярного поля $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемого по всем аргументам в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , называют симметрическую квадратичную форму $H(x)=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ m }{ h_{ij}x_{i}x_{j} } }$ , описывающую наилучшее квадратичное приближение функции в некоторой окрестности точки $x$ и имеющую матрицу вида:

$\mathbf{H}_{f}(x) = \begin{Vmatrix} \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }^{ 2 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 1 }\partial x_{ m } } (x) \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }^{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ 2 }\partial x_{ m } } (x) \\ … & … & … & … \\ \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 1 } } (x) & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }\partial x_{ 2 } } (x) & … & \frac { \partial ^{ 2 }f }{ \partial x_{ m }^{ 2 } } (x) \end{Vmatrix}$

— так называемую матрицу Гессе, определитель которой обычно подразумевается под Гессианом. Матрица Гессе также описывает локальную кривизну скалярного поля.

Утверждение

Поведение функция $f: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ , дважды дифференцируемой в точке $x=(x^{1},…,x^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ и непрерывной в некоторой окрестности $U(x) \subset \mathbb{R}$ этой точки, характеризуется формулой:

$f(\mathbf{x}+\mathbf{\Delta x}) \approx f(x) + \mathbf{J(x)\Delta x} + \frac{1}{2} \mathbf{\Delta x^{T} H(x) \Delta x}$

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Для того, чтобы функция $f: U(x_{0}) \rightarrow \mathbb{R}$ , дважды дифференцируемая по всем аргументам в точке $x_{0}=(x_{0}^{1},…,x_{0}^{m}) \in \mathbb{R}^{m}$ , в ней имела экстремум достаточно, чтобы её Гессиан был знакоопределён, причем, положительная определённость влечёт наличие в точке строгого локального минимума, отрицательная определённость — строгого локального максимума.

Спойлер

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора, обозначив вектор сдвига как $\mathbf{h}=(h_{1},…,h_{m})$ . Тогда

$f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \frac{1}{2!} \mathbf{h^{T} H(x) h} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}),\left\| h \right\| =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ h_{ i }^{ 2 } } } \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) = f(\mathbf{x}) + \sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}}h_{i}h_{j}}} + \underline{o}((\left\| \mathbf{h} \right\|)^{2}) \\ f(\mathbf{x}+\mathbf{h}) — f(\mathbf{x}) = \frac {1}{2!} \left\| \mathbf{h} \right\|^{2}\left[\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}} + \underline{o}(1) \right]$

Отсюда следует, что знак выражения в левой части, позволяющий судить о наличии или отсутствии экстремума в точке $\mathbf{x}$ , определяется знаком выражения в квадратных скобках. Посмотрим на неё внимательнее: пусть $\mathbf{h} != 0$ , тогда вектор ${ e }=\left( \frac { h_{ 1 } }{ \left\| { h } \right\| } ,\frac { h_{ 2 } }{ \left\| { h } \right\| } ,…,\frac { h_{ m } }{ \left\| { h } \right\|} \right)$ имеет единичную норму $\left\| { e } \right\| = 1$ , каким бы он ни был. Форма $\sum _{i=1}^{m}{\sum_{j=1}^{m}{\frac {\partial f^{2}} {\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{h_{i} } { \left\| \mathbf{h} \right\| } \frac{ h_{j}} {\left\| \mathbf{h} \right\|}}}$ непрерывна на $\mathbb{R}^{m}$ как однородный многочлен второй степени от координат $\mathbf{h}$ в силу непрерывности вторых производных $f$ в окрестности $\mathbf{x}$ . Квадратичная форма непрерывна и на единичной сфере $S(0;1)=\left\{ x \in \mathbb{R}^{m}| \left\| { x } \right\| \le 1 \right\}$ . Приниципиальный интерес этот факт представляет по той причине, что единичная сфера — компакт, а свойства скалярных функций, непрерывных на компакте, хорошо известны и сыграют важную роль. В частности, непрерывная на компакте функция достигает на нём своих точных верхней и нижней граней $m$ и $M$ .
Если форма положительно определена, то $0 0$ , что $\forall y: \left\| y \right\| < \delta \quad \underline { o } (1)=\alpha (y) < m \Rightarrow \underline { o } (1) < m 0$ .
Доказательство для случая отрицательно определённой квадратичной формы симметрично приведенному.
Докажем далее, что значения разных знаков, принимаемые формой в окрестности данной точки, являются достаточным условием отсутствия в ней экстремума функции. Сохраняя обозначения предыдущего пункта, назовём $\mathbf{e_{m}}$ и $\mathbf{e_{M}}$ точки единичной сфера, в которых форма достигает значений $m$ и $M$ соответственно, причем пусть $m < 0 < M$ .
Вновь выпишем разложение в ряд Тейлора функции $f$ , взяв за вектор сдвига вектор $t\mathbf{e_{m}}$ , где число $t$ подобрано таким образом, чтобы $\mathbf{x}+t\mathbf{e_{m}} \in U(x)$ :

$f({ x }+{ h })-f({ x })=\frac { 1 }{ 2! } \left\| { te_{ m } } \right\| ^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } (\left| t \right| \left\| { e_{ m } } \right\| )^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right] =\frac { 1 }{ 2! } t^{ 2 }\left[ m+\underline { o } (1) \right]$

Аналогично рассуждениям предыдущего пункта, рассмотрим случай $\text{sign}(\underline {o}(1))=1$ : $\lim _{ \left\| t \right\| \rightarrow 0}{ \alpha (t\mathbf{e_{m}}) } = 0 \Rightarrow \exists \delta > 0: \forall t m$ . Тогда значение в квадратных скобках, как и выражение в левой части, неположительно. В ходе аналогичных рассуждений получим двойственную ситуацию для $\mathbf{e_{M}}$ . Следовательно, в любой окрестности $U(\mathbf{x})$ точки $\mathbf{x}$ функция $f$ принимает значения, как большие, так и меньше $f(\mathbf{x})$ , следовательно, в точке $\mathbf{x}$ экстремума быть не может по определению.

[свернуть]

Замечание 1

Условие не является необходимым, так как ничего не говорит о случае, когда квадратичная форма полуопределена, т.е. является и неположительна или неотрицательна, т.е. содержит критические точки, не являющиеся экстремальными, строго больше или меньше нуля на всех векторах окрестности.

Спойлер

Исследуем на экстремум функцию $f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}$ . Отыщем критические точки согласно необходимому условию:

$\begin{cases} \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4x^{ 3 }-4x=0, \\ \frac { \partial f }{ \partial x } (x,y)=4y^{ 3 }=0; \end{cases}$

Решаяя систему, получаем точки: $(-1,0),(0,0),(1,0)$ . Поскольку смешанные производные существуют и непрерывны и

$\frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial x^{ 2 } } (x,y)=12x^{ 2 }-4, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y\partial x } (x,y)=0, \frac { \partial f^{ 2 } }{ \partial y^{ 2 } } (x,y)=12y^{ 2 }$

матрица Гессе имеет вид

${ H }_{ f }(x,y)=\begin{Vmatrix} 12x^{ 2 }-4 & 0 \\ 0 & 12y^{ 2 } \end{Vmatrix}$

Используя критерий Сильвестра, убедитесь, что в указанных трёх точках квадратичная форма полуопределена. Несмотря на то, что достаточный критерий экстремума в терминах квадратичного приближения неприменим, из записи функции в виде $f(x,y)=(x^{2}-1)^{2}+y^{4}-1$ очевидно, что в точках $(\pm 1, 0)$ функция (симметричная и монотонно возрастающая по обеим переменным) имеет строгий локальный минимум, а в точке $(0, 0)$ не имеет экстремума вовсе.
Нижеприведенное изображение наглядно демонстрирует правильность выводов. Нормалями к поверхности обозначены стационарные точки.

[свернуть]

Замечание 2

Функция может принимать экстремальные значения в граничных точках области определения. Вышеприведенное достаточное условие для их выявления использовать не рекомендуется, следует обратиться к аппарату теории условного экстремума.

Пример (Демидович, №3629)

Исследовать на локальный экстремум функцию

$z = x y \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} \quad (a > 0, \quad b > 0)$

Спойлер

Вычислим первые частные производные. Решением нижеприведенной системы

$z^{ ‘ }_{ x }=\frac { y\left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }, \quad z^{ ‘ }_{ y }=\frac { y\left( 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \sqrt { 1-\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } } }$

находим стационарные точки

$(0,0),\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) ,\quad \left( -\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,-\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$

Отметим, что в точках, лежащих на границе эллипса $1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ частные производные не существуют, следовательно, их следует отдельно проверить на экстремум, что выходит за рамки аппарата данной статьи.

Для проверки достаточных условий выпишем вторые производные

$z^{ » }_{ x^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ a^{ 2 } } \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)}{ \left(1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right)^{\frac{3}{2}} }, \quad z^{ » }_{ y^{ 2 } }=\frac { -\frac { xy }{ b^{ 2 } } \left( 1-\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 2y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }, \\ z^{ » }_{ xy }=\frac { 1+\frac { 2x^{ 4 } }{ a^{ 4 } } +\frac { 3x^{ 2 }y^{ 2 } }{ a^{ 2 }b^{ 2 } } +\frac { 2y^{ 4 } }{ b^{ 4 } } -\frac { 3x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } }{ \left( 1-\frac { 2x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { 3y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \right) ^{ \frac { 3 }{ 2 } } }$

Точка $(0,0)$ не является точкой условного экстремума
$\mathbf{ H }_{ z }(0,0)=\begin{Vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{Vmatrix},\quad \Delta_{1}=0,\quad \Delta_{2}=-1$
Заметим, что функция $z(x,y)$ чётна, а также $z \left( \frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right) = z \left( \frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { -b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ .

Точки $(\pm \frac { a }{ \sqrt { 3 } }, \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } })$ являются точками условного экстремума

${ H }_{ z }(\frac { a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\begin{Vmatrix} -\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & -\frac { 4a }{ \sqrt{3}b} \end{Vmatrix},\quad \Delta _{ 1 }=-\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } 0$ ${ H }_{ z }(\frac { -a }{ \sqrt { 3 } } ,\frac { b }{ \sqrt { 3 } } )=\left( \begin{array}{cc} \frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } & -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } \\ -\frac { 2 }{ \sqrt { 3 } } & \frac { 4a }{ \sqrt { 3 } b } \end{array} \right) ,\Delta _{ 1 }=\frac { 4b }{ \sqrt { 3 } a } >0, \quad \Delta _{ 1 }=\frac { 16 }{ 3 } — \frac{4}{3} = 4 > 0$

Соответственно, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \pm \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки минимума, $\left(\pm \frac {a}{ \sqrt { 3 } } , \mp \frac { b }{ \sqrt { 3 } } \right)$ — точки максимума.

Пример: $a = b = 2$

[свернуть]

Источники:

Зорич В.А., Математический анализ, ФАЗИС, 1997, стр. 454-461
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство Московского Университета, Издательство ЧеРо, 1997
Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2014-2015 гг., семестр 2

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

максимум из 23 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Вячеслав Иванов

Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Определение

Определение

Определение

Утверждение

Достаточное условие экстремума в терминах частных производных

Замечание 1

Замечание 2

Пример (Демидович, №3629)

Источники:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Подсказка

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума функции многих переменных

М1473. О записи степеней двойки

Задача из журнала «Квант» (1995, выпуск №4)

Решение

Средний результат
Ваш результат