Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, имеет во внутренней точке x_{0}:

  • Локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })
  • Локальный максимум если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный максимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.


Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Пусть функция f:\mathbb{E}  \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} непрерывна в точке x_{0} и дифференцируема в её проколотой окрестности \dot {U}(x_{0}) . Пусть \dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \} и \dot {U}^{-}(x_{0}) = \{x \in U(x_{0})| x < x_{0} \}. В введенных обозначениях справедливы заключения:

  1. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (f в x_{0} экстремума не имеет)
  2. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0} — точка строгого локального минимума)
  3. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x)< 0))\Rightarrow (x_{0} — точка строгого локального максимума)
  4. (\forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0)) \wedge (\forall x \in \dot {U}^{+}(x_{0}) (f^{'}(x) > 0))\Rightarrow (f в x_{0} экстремума не имеет)

Резюмируя, изменение знака первой производной при переходе через точку — признак наличия в ней локального экстремума.

Спойлер

  1. Согласно достаточному условию монотонности функции в терминах первой производной, f строго убывает в полуокрестностях x_{0}. Следовательно, f(x_{0})  f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) , значит x_{0} не является точкой локального экстремума (по определению). Доказательство пункта 4. аналогично.
  2. Аналогично первому случаю, рассмотрим характер монотонности f в полуокрестностях точки x_{0}: f \uparrow на \dot {U}^{-}(x_{0}) и f \downarrow на \dot {U}^{+}(x_{0}). Следовательно, f(x_{0})> f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) и f(x_{0}) > f(x) \quad \forall x \in \dot {U}^{-}(x_{0}) , значит x_{0} является точкой локального максимума (по определению). Доказательство пункта 3 симметрично приведенному.

[свернуть]

Замечание

Условия не является необходимыми.

Спойлер

Рассмотрим функцию f(x) = \begin{cases} x^{ 2 }(2+\cos  (\frac { 1 }{ x } ),x\ne 0 \\ 0,x=0 \end{cases} На иллюстрациях приведены графики f(x) и f^{'}(x). Достаточное условие существования экстремума в терминах первой производной не выполняется, несмотря на то, что точка x=0 — точка абсолютного минимума.

counterexample

counterexample first derivative

[свернуть]

Достаточные условия экстремума в терминах старших производных

Пусть функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} имеет в точке x_{0} производные до n-го порядка включительно. Если (f^{'}(x_{0}) = ... = f^{n-1}(x_{0}) = 0) \wedge f^{n}(x_{0}) \ne 0, то при нечётном n в x_{0} экстремума нет, а при чётном n — есть, причем, при f^{n}(x_{0}) > 0 это строгий локальный минимум, а при f^{n}(x_{0}) < 0 — строгий локальный максимум.

Спойлер

Достаточные условия экстремума в терминах производных тесно связаны с разложением функций в ряд Тейлора, благодаря чему естественным образом обобщаются на старшие размерности. Взаимосвязь эта будет постоянно использоваться в дальнейших выкладках.


Выпишем локальную формулу Тейлора, (f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \underline { o } (x-x_{0})^{n}) в форме f(x)-f(x_{0}) = \frac {f^(n)(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + \alpha(x) (x-x_{0})^{n}, \lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0 \quad (1).
Преобразуем выражение (1): f(x)-f(x_{0}) = (\frac {f^(n)(x_{0})}{n!} + \alpha(x))(x-x_{0})^{n}. В силу того, что f^{n}(x_{0}) \ne 0 (по условию) и \lim _{ x \rightarrow x_{0} }{ \alpha(x) } = 0, первый сомножитель имеет знак f^{n}(x_{0}) при x \rightarrow x_{0}. Теперь условие чётности n очевидно: в противном случае при переходе через точку x_{0} правый сомножитель меняет знак, и судить о характере монотонности функции некорректно. Следовательно, знак выражения в левой части равенства при чётном n в некоторой окрестности точки x_{0} совпадает со знаком f^{n}(x_{0}).

[свернуть]

Аппарат дифференциального исчисления позволяет свести многие нетривиальные оптимизационные задачи к алгоритмическому решению. Использование достаточных критериев экстремума в терминах производных может приводить к более громоздким, но алгоритмически очевидным решениям, уступая частному подходу к физическим, геометрическим и подобных им задачам в изяществе, но не в эффективности.

Закон Снеллиуса

Закон преломления света в геометрической оптике

Согласно принципу Ферма между любой парой точек пространства луч света движется в средах по траектории, минимизирующей время прохождения пути. В изотропной среде свет распространяется по геодезической — прямолинейно.
Но какова траектория светового луча, проходящего через несколько однородных сред? Для ответа на этот вопрос рассмотрим случай двух граничащих сред.

Snellius_lav

Скорость света в изотропной среде постоянна. Обозначим её как c_{1}, c_{2} соответственно. Тогда время прохождения указанного пути таково: t(x)=\frac{1}{c_{1}} \sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}} + \frac{1}{c_{2}} \sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}. Найдем экстремумы функции, используя достаточное условие: t^{'}(x)=\frac{1}{c_{1}} \frac {x}{\sqrt{h^{2}_{1}+x^{2}}} - \frac{1}{c_{2}} \frac {a-x}{\sqrt{h^{2}_{2}+(a-x)^{2}}} = 0. В соответствии с обозначениями на рисунке, t^{'}(x)=c^{-1}_{1} \sin{\angle A_{1}XB}=c^{-1}_{2} \sin{\angle A_{2}XC}. Функция t(x) монотонно возрастает на \mathbb{R}, следовательно, точка x_{0} такая, что t^{'}(x_{0})= \frac{\sin{\angle A_{1}XB}}{\sin{\angle A_{2}XC}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}, является точкой глобального минимума. Полученное значение является аналитическим выражением закона Снеллиуса.

[свернуть]

Источники:

Достаточные условия экстремума

Закрепление материала.

Таблица лучших: Достаточные условия экстремума

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Достаточные условия экстремума: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *