Определение предела функции по Коши

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $0(x^{0})$ точки $x^{0}$ метрического пространства $X$. Говорят, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x \to x_{0}$ , если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ такое, что для $\forall x \in O(x^{0})$, удовлетворяющего условию $\rho(x, x^{0}) < \delta$,  выполнено неравенство $\left | f(x) — A \right | < \varepsilon$.

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция $f(x)$, определенная в $0(x^{0})$, имеет при $x \to x_{0}$ предел $A$, если для любой последовательности $x^{k} \in 0(x^{0})$ такой, что $lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0}$, выполнено равенство $lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A$.

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$ , если $a>0$. Возьмем любое $\varepsilon > 0$. Положим $\delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}}$. Пусть $(x,y) \in S_{\delta}(0,0)$, тогда $(x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon$ , т.е. $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 20

   Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

   Элементы сортировки

   • $$lim_{x \to \infty}(1-x)$$
   • $$lim_{x \to 2}x^{2}$$

   • Имеет предел равный $$-\infty$$

   • Имеет предел равный 4

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 20

   Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?

   • Может
   • Не может
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 20

   Что означает следующая фраза:

   $x$ принадлежит проколотой окрестности точки $a$

   • $$0<|x-a|<\delta$$
   • $$|F(x)-A|<\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 20

   Определения по Коши и по Гейне…
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 20

   Дайте определение предела по Коши.

   • $$\forall \varepsilon >0$$
   • $$\exists \delta >0$$
   • $$\forall x: 0<|x-a|<\delta$$
   • $$|f(x)-A|<\varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 232-234.

Метрическое пространство

Будем множество $X$ называть метрическим пространством, если каждой паре элементов $x$ и $y$ этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число $p(x,y)$ , называемое расстоянием между элементами $x$ и $y$, такое, что для любых элементов $x$ , $y$, $z$ множества $X$ выполнены следующие условия:

1. $p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;$
2. $p(x,y) = p(y,x);$
3. $p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,…, z_n);$ (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию $p(x,y)$ , определенную на множестве пар точек метрического пространства $X$,  $p$ — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами $\alpha$   и $\beta$ при помощи формулы $p(\alpha , \beta)= \left | \beta — \alpha \right |$  , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R$. Рассмотрим множество пар вещественных чисел $x=(x_{1}+x_{2})$. Если $x=(x_{1}+x_{2})$, а $y=(y_{1}+y_{2})$, то полагая $p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$ , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R^{2}$ .  

Метрическое пространство $R_{n}$

Точками пространства $R_{n}$  являются упорядоченные совокупности из $n$ вещественных чисел $x=(x_{1},..,x_{n})$, $y=(y_{1},..,y_{n})$, $z=(z_{1},..,z_{n})$. Расстояние между точками $x$ и $y$ определяется формулой  $p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)}$ . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 222-231.
• У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 39-45.
• Вартанян Г.М. Конспект лекций.

Евклидовой нормой или длиной числа $x$ называется число:

$\left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+…+(x_n)^2}$

 Свойства нормы:

1.  $\left \| x \right \| \geq 0$ и $\left \| x \right \|=0$ тогда , когда $x=0$
2.  $\left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|$
3. $\left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|$
4. $\left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|$
5.  $\left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|$

В евклидовом пространстве $C[a,b]$ всех непрерывных на сегменте $a \leq t \leq b$ функций $x=x(t)$ со скалярным произведением $\int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt$ норма элемента $x=x(t)$ равна $\sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt}$ , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:

•   $\left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt$  (неравенство Коши-Буняковского)

• $\sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt}$ (неравенство треугольника)

Литература:

• У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением: $(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Справедливое для любых вещественных чисел $a_{1} , b_{1} … a_{n} , b_{n}$

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен:$p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2}$ , где $A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2$ ,  $B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$ ,  $C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2$. Так как квадратный трехчлен $P(\xi)$ принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,  $B^2-AC\leq 0$ . Подставляя в неравенство значения коэффициентов $A$, $B$ и $C$, получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского: $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}$.

Используя неравенство Коши, получаем: $\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq$ $\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=$ $(\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2$

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского $a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i}$ , получаем неравенство $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2}$ т. е. неравенство треугольника для расстояния $p(x,y)$.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 223-225.