Пусть заданы точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2, \gamma_2\right),$ также определяющие вектор $\overline{B_1B_2}.$
Определение. Проекцией вектора $\overline{B_1B_2}$ называется вектор, полученный проектированием точек $B_1$ и $B_2$ на какую либо ось или плоскость.
Наша задача заключается в нахождении координат этой проекции. Прежде всего необходимо выяснить способ нахождения координат проекций точки. Например, спроектировав точку $B_1\left(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\right)$ на ось абсцисс, получим $B_{1x}\left(\alpha_1, 0, 0\right).$ Точно таким же образом получаем и точку $B_{2x}\left(\alpha_2, 0, 0\right):$
Понятно, что в случае плоскости проекция точки будет иметь две ненулевые координаты: $B_{1xy}\left(\alpha_1, \beta_1, 0\right)$ и $B_{2xy}\left(\alpha_2, \beta_2, 0\right).$ Для всех остальных плоскостей и осей аналогично. Теперь нам достаточно лишь воспользоваться формулой для вычисления координат вектора: $\overline{B_{1x}B_{2x}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, 0, 0\right),$ а, например, $\overline{B_{1xy}B_{2xy}} = \left(\alpha_2 -\alpha_1, \beta_2 -\beta_1, 0\right).$
Для двумерного пространства разница будет заключаться лишь в том, что точки $B_1\left(\alpha_1, \beta_1\right)$ и $B_2\left(\alpha_2, \beta_2\right)$ определяются двумя координатами. Рассуждения же остаются аналогичными.
Пример
Даны точки $A\left(-3, 2, 5\right)$ и $B\left(6, -3, -1\right),$ определяющие соответствующий вектор $\overline{AB}.$ Найти координаты проекций этого вектора на все координатные плоскости.
Решение
Вначале найдем проекции точек $A$ и $B$ на координатные плоскости. Например, на плоскости $xy$ точки имеют следующие координаты: $A_{xy}\left(-3, 2, 0\right),$ $B_{xy}\left(6, -3, 0\right).$
Аналогично для остальных плоскостей: $A_{yz}\left(0, 2, 5\right),$ $B_{yz}\left(0, -3, -1\right),$ $A_{xz}\left(-3, 0, 5\right),$ $B_{xz}\left(6, 0, -1\right).$ Теперь можно найти координаты проекций вектора $\overline{AB}:$ $$\overline{A_{xy}B_{xy}} = \left(6+3, -3-2, 0-0\right) = \left(9, -5, 0\right),$$ $$\overline{A_{yz}B_{yz}} = \left(0-0, -3-2, -1-5\right) = \left(0, -5, -6\right),$$ $$\overline{A_{xz}B_{xz}} = \left(6+3, 0-0, -1-5\right) = \left(9, 0, -6\right).$$
Как известно, для любого линейного оператора можно определить матрицу этого оператора, при чем такая матрица будет единственной для заданной пары базисов (или одного базиса, в случае оператора из $\Omega \left(X\right)$, где $\left(X,\:P\right)$ — линейное пространство). Тогда, действия над линейным операторами можно свести к операциям над их матрицами, заданными в фиксированных базисах.
Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$
Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению оператора суммы) $$= \left(A + B\right)e_{j} = Ae_{j} + Be_{j} =$$ (используя равенства для $Ae_{j}$ и для $Be_{j}$)$$=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} + \sum_{i=1}^{n}b_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\left(a_{ij}+b_{ij}\right)g_{i}.$$
Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой сумму соответствующих элементов матриц $A_{ge}$ и $B_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = A_{ge} + B_{ge}.$
Зададим два линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$ и $\left(Y,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m$, $\dim{Y} = n$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ а в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle.$
Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения оператора на число) $$= \left(\lambda A\right)e_{j} = \lambda \left(Ae_{j}\right)=$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$=\lambda\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$Следовательно, $$\sum_{i=1}^{n}c_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}\lambda a_{ij}g_{i}.$$
Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{ge}$ представляет собой произведение числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A_{ge}$, что и означает, что $C_{ge} = \lambda A_{ge}.$
Зададим три линейных пространства над одним и тем же полем $\left(X,\:P\right)$, $\left(Y,\:P\right)$ и $\left(Z,\:P\right)$ и укажем их размерности, $\dim{X} = m,$ $\dim{Y} = n,$ $\dim{Z} = k$. В пространстве $X$ зададим базис $\left \langle e \right \rangle = \left \langle e_{1},\: e_{2},\: \cdots,\: e_{m}\right \rangle,$ в пространстве $Y$ — $\left \langle g \right \rangle = \left \langle g_{1},\: g_{2},\: \cdots,\: g_{n}\right \rangle,$ а в пространстве $Z$ — $\left \langle t \right \rangle = \left \langle t_{1},\: t_{2},\: \cdots,\: t_{k}\right \rangle.$
Рассмотрим подробнее равенство. $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} = Ce_{j} =$$ (по определению произведения операторов) $$= \left(BA\right)e_{j} = B\left(Ae_{j}\right) =$$ (используя равенство для $Ae_{j}$)$$= B\sum_{i=1}^{n}a_{ij}g_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}Bg_{i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}\left(Bg_{i}\right) =$$ (используя равенство для $Bg_{i}$)$$= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \sum_{f=1}^{k} b_{fi}t_{f} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{f=1}^{k} a_{ij}b_{fi}t_{f} =\\=\sum_{f=1}^{k} \sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij}t_{f} = \sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f}.$$Следовательно, получили равенство: $$\sum_{d=1}^{k}c_{dj}t_{d} =\sum_{f=1}^{k} \left(\sum_{i=1}^{n} b_{fi}a_{ij} \right)t_{f},$$ а так как $d = \overline{1,\:k}$ и $f = \overline{1,\:k}$, то получаем следующее:$$c_{dj} = \sum_{i=1}^{n} b_{di}a_{ij}.$$
Таким образом, каждый элемент матрицы $C_{te}$, с индексами $d$ и $j$ равен сумме попарных произведений каждого элемента $d$-ой строки матрицы $B_{tg}$ на соответствующий элемент $j$-ого столбца матрицы $A_{ge}$. Это и означает, по определению произведения матриц, что $C_{te} = B_{tg}A_{ge}.$
Примеры решения задач
Пусть заданы два линейных оператора $$A\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3} \right) = \left(x_{2}+x_{3},\:2x_{1}+x_{3},\:3x_{1}-x_{2}+x_{3}\right ),$$$$B\left(x_{1},\:x_{2},\:x_{3}\right ) = \left (2x_{1}-x_{2}-x_{3},\:x_{1}-2x_{2}+x_{3},\:x_{1}+x_{2}-2x_{3}\right )$$и базис$$\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right)\right \rangle.$$Найти матрицу суммы операторов $C = A + B$ в базисе $\left \langle e \right \rangle.$
Чему будет равен след матрицы оператора $C = BA$ в базисе $\left \langle e \right \rangle = \left \langle \left(1,\:0,\:0\right),\:\left(0,\:1,\:0\right),\:\left(0,\:0,\:1\right) \right \rangle$?
Подсказка
След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы.
Отсортируйте в порядке убывания значения определителей матрицы оператора $C$, если все матрицы заданы в базисе $\left \langle e \right \rangle$ и $C$ определяется так:
$C = 3B$
$C = A + B$
$C = BA$
$C=3A$
Задание 5 из 6
5.
Количество баллов: 4
Установите соответствие между матрицей оператора $C = BA$ и базисом, в котором эта матрица может быть получена, если $$A \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}+2x_{2},\;4x_{2}\right)\,$$ $$B \left(x_{1},\; x_{2}\right)\,=\,\left(x_{1}-3x_{2},\;2x_{1}+3x_{2}\right).$$
Пусть заданы два линейных оператора $$A\in\Omega\left(X,\:Y\right)$$ и $$B\in\Omega\left(Y,\:Z\right).$$
Произведением данных операторов называется оператор $$C=BA \in\Omega\left(X,\:Z\right),$$ матрица которого равна произведению матрицы оператора (B) на матрицу оператора (A), заданных в некоторых базисах.
Теорема. Рангу матрицы соответствует наибольший порядок минора, не равный нулю.
Дана матрица $A= \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}\left(P\right).$ Пусть максимально возможный порядок ненулевого минора равен $p.$ Следовательно, имеется хотя бы один минор $M,$ отличный от нуля, с порядком $p.$
Теперь докажем, что остальные столбцы матрицы линейно выражаются через первые $p.$ Рассмотрим определитель $p+1$ порядка: $$M’ =
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1p}& a_{1l}\\
a_{21} & \cdots & a_{2p}& a_{2l}\\
\dots& \dots& \dots&\dots\\
a_{p1} & \cdots & a_{pp}& a_{pl}\\
a_{i1} & \cdots & a_{ip}& a_{il}\\
\end{vmatrix}, $$ где $~i=\overline{1,m},~l=\overline{p+1,n}.$
При каком-либо $i$ детерминант равен $0.$ Докажем, что это так. Рассмотрим случай, когда $i=\overline{1,p}.$ Две строки определителя совпадают и тогда по свойству $M’ = 0.$ В случае, когда $i$ лежит между $p+1$ и $m,$ вспомогательный определитель $M’$ является минором матрицы $A$ и имеет порядок $p+1.$ Однако все миноры порядков больших $p$ равны $0,$ что подразумевается непосредственно в формулировке нашей теоремы, следовательно $M’ = 0.$
Можно получить данный минор, воспользовавшись теоремой о разложении определителя по строке. В данном случае разложим по последней. Имеем $$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{ip}A_{ip}+a_{ij}M = 0,$$ где $A_{i1}, A_{i2}, \dots, A_{ip}$ — алгебраические дополнения соответствующих элементов строки. Примечательно, что алгебраическим дополнением при $a_{ij}$ является $M.$ Далее $$a_{i1} \frac{A_{i1}}{M}+a_{i2}\frac{A_{i2}}{M} +\dots+a_{ip}\frac{A_{ip}}{M}+a_{ij} = 0.$$
$$a_{ij} = \left(-\frac{A_{i1}}{M}\right)a_{i1} +\left(-\frac{A_{i2}}{M}\right)a_{i2} +\dots+\left(-\frac{A_{ip}}{M}\right)a_{ip}.$$ Формально коэффициенты $\left(-\displaystyle\frac{A_{i1}}{M}\right), \dots, \left(-\displaystyle\frac{A_{ip}}{M}\right)$ зависят от номера $i,$ однако вычисляются независимо от него. Это некие константы, найти которые мы можем с помощью первых $p$ столбцов. Изменяя $i$ от $1$ до $p,$ можно получить весь столбец $l$ как линейную комбинацию первых $p$ столбцов. Теорема доказана.
Следствие 1. «Столбцовый» ранг матрицы $A$ совпадает со «строчным».
Чтобы сравнить соответствующие ранги, транспонируем матрицу. Её ранг при этом не изменится, так как в новой матрице значения всех миноров сохранились по свойству определителя транспонированной матрицы. В новой матрице рангом будет ранг строк исходной матрицы, которые стали столбцами после транспонирования. Таким образом, ранги столбцов и строк данной матрицы равны между собой.
Следствие 2. Из равенства нулю определителя матрицы следует, что столбцы матрицы линейно зависимы.
Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| $ порядка $n$ большего единицы. По условию $\det A = 0,$ значит наибольший порядок отличного от нуля минора меньше $n$ и $\mathop{\rm rank} A < n.$ По свойству ранга система линейно зависима.
Значительно упрощает вычисление ранга метод окаймляющих миноров. Минор является окаймляющим, если содержит в себе минор меньшего порядка. Метод состоит в том, чтобы среди окаймляющих миноров каждого порядка поочередно искать ненулевые миноры. Рассмотрим на примере матрицы $3-$го порядка. Например, для ненулевого минора $\begin{vmatrix}a_{21}\end{vmatrix}$ окаймляющими будут миноры второго порядка $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ и $\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$ Если их значения равны $0,$ ранг матрицы равен $1,$ иначе переходим к следующему порядку. Определитель матрицы — единственный окаймляющий минор третьего порядка. Если он нулевой, ранг равен двум, иначе трём. Получается, мы действуем до тех пор, пока не найдем нулевые миноры или порядок ненулевого минора не совпадает с количеством столбцов(строк) матрицы.
Существует также метод элементарных преобразований, однако его преимущество только в поиске ранга матрицы, более о матрице мы ничего узнать не сможем. Данный метод следует применять на практике при работе с очень большими порядками и ограниченным количеством времени. Его суть в том, чтобы преобразовать матрицу к диагональному виду и узнать её ранг. Так как новая матрица будет эквивалентна данной матрице, её ранг будет рангом исходной матрицы по свойству ранга эквивалентных матриц.
Начнем с матрицы $A. m_1 = 1, m_2 = 12, $ $$m_3 = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & -2 \\ 3 & 6 & 1 \\ -4 & 0 & -1 \end{array}\right| =-6 + 8-48-6 =-52. $$ Минор третьего порядка не равен $0.$ Значит перейдем к $4$-му порядку: $$m_4 = \left|\begin{array}{rrr} 1 & -2 & -2 & 5\\ 3 & 6 & 1 & 15 \\ -4 & 0 & -1 & -12 \\ -7 & 14 & 14 & -35 \end{array}\right| = 0. $$ Нам не пришлось долго вычислять минор, так как первая и четвертая строки пропорциональны, а значит линейно зависимы и детерминант равен $0 \Rightarrow \mathop{\rm rank} A = 3. $
В матрице $B$ возникает аналогичная ситуация. $m_1, m_2 \ne 0,$ но $m_3$ имеет две линейно зависимой строки, следовательно этот минор нулевой по критерию равенства детерминанта нулю и $\mathop{\rm rank} B = 2.$
Теперь мы знаем ранги матриц и просто подставляем в выражение: $$6 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2-13 \cdot 2^2 = 54 + 12-52 = 14.$$
[свернуть]
Теорема о ранге матрицы
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
6
Информация
Тест на знание темы «Теорема о ранге матрицы».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
Количество баллов: 2
Заполните пропуски
"Рангу матрицы соответствует (наибольший, максимальный, наивысший, самый большой) порядок минора, не равный (нулю, 0)."
Задание 2 из 6
2.
Количество баллов: 3
Выберите все матрицы с рангом $1$
Задание 3 из 6
3.
Количество баллов: 5
Отсортируйте в порядке возрастания значения ранга матриц
Определение Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда корнем степени $n$ из комплексного числа $z$ называется комплексное число $w$, для которого верно равенство $w^n=z.$
Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$
Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$ $$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$ Воспользуемся формулой Муавра:$$ \rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.
$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$
Замечание. $\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.
Следствие. Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$-угольник.
Квадратный корень из комплексного числа
Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему
Теорема. Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня
$b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
$b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
$b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$
Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$ $$w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$$ $$x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ Получили $$x^2-y^2=a$$$$2xy=b$$ Если $b=0$, тогда или $x=0$, или $y=0$.
$b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
$b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
$b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства $$y=\frac{b}{2x}$$Подставим значение $y$ в равенство, получим: $$x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a$$ Домножим обе части равенства на $4x^2$ $$4x^4-4x^2a-b^2=0$$
Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда $$x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$$ $$x_{1}^{2}=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}>0$$ $$x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$$так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений $$x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$$
Выразим $y^2$ из равенства $$y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a= \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$$ Тогда $$y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$, то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует: $$w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$$
Примеры решения задач
Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$
Решение
Запишем $z$ в тригонометрической форме $$z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид:$$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$$ $$\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$$Тогда общий вид корней будет таков $$w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2$$
[свернуть]
Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$
Решение
$$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$$ $$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4 $$ Откуда $$x=\pm 2,\:y=\pm 1$$ Значит $$w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$$
[свернуть]
Решите уравнение $z^2=2i$
Решение
$$z=\pm \sqrt{2i}$$Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$. Найдем их
$$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$$ $$\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1 $$ Откуда $$x=\pm 1,\:y=\pm 1$$ Значит корни уравнения будут равны $$w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$$
[свернуть]
Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$?
Решение
Найдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме$$z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$$ $$\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$$ Тогда общий вид корней будет таков $$w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2,3$$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $$w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$
[свернуть]
Извлечение корней из комплексных чисел
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
6
Информация
Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
Количество баллов: 1
Принадлежит ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos\frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24} \right )$ множеству корней четвертой степени из $z=2\left ( \cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6} \right )?$
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
2.
Количество баллов: 1
Чему равен модуль комплексного числа $w=\sqrt[2]{z},$ при $z=64 \left( \cos\frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
Правильно
Неправильно
Правильный ответ — 8
Задание 3 из 6
3.
Количество баллов: 2
Выберите все правильные утверждения
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Количество баллов: 4
Установите соответствие между комплексными числами и комплексными числами, принадлежащими к множеству их квадратных корней
Алгоритм Евклида — это эффективный алгоритм для нахождения НОД. Для натуральных чисел, таких как $9$ и $6,$ достаточно было просто перебирать числа для нахождения НОД. Если же перебирать числа для более сложных примеров, как, например, $52152$ и $9875,$ то процесс нахождение НОД будет слишком долгим. Поэтому, вместо того чтобы перебирать числа, можно просто выполнить ряд простых действий.
Определение. Даны числа $A, B \in \mathbb{Z}^{+},$ где $A \geqslant B$ и $r_{k}, q_{k} \in \mathbb{Z}^{+},$ при $k = 1,2,3…n,$ где $r_k$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. Находим ряд равенств: $$A = Bq_{1} + r_{1}$$ $$B = r_{1}q_{2}+r_2$$ $$r_{1} = r_{2}q_{3}+r_{3}$$ $$……$$ $$r_{n-1} = r_{n}q_{n+1}+0,$$ где $r_{n}$ и будет НОД целых чисел $A$ и $B$. Все ранее написанное и называется алгоритмом Евклида.
Другими словами, мы представляем деление $A$ на $B,$ как $A = Bq + r$ и пока остаток $r \neq 0$ мы делим делитель на остаток от деления. А так как остаток всегда меньше делителя двух целых чисел ($r_{1} < B$ или $r_{n} < r_{n-1}$), то рано или поздно остаток будет равен нулю. А НОД двух чисел будет последний делитель.
Выполним те же действия, но на этот раз запишем деление в столбик.
Спойлер
Евклид не открывал этот алгоритм. Этот алгоритм был придуман Аристотелем. Евклид лишь описал этот алгоритм в двух книгах «Начал», а конкретно в VII и X книгах. В первой он описал алгоритм как нахождение НОД двух натуральных чисел, а во второй как нахождение общей меры.
[свернуть]
НОД двух многочленов
Как и с большими целыми числами, алгоритм Евклида очень удобен для поиска НОД двух многочленов.
Теорема. Наибольший общий делитель двух многочленов существует.
Пусть даны два многочлена $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P[x],$ где $\deg \left(f\left(x\right)\right) \geqslant \deg \left(g\left(x\right)\right)$. Находим ряд равенств: $$f\left(x\right) = g\left(x\right)q_1\left(x\right)+r_1\left(x\right)$$ $$g\left(x\right) = r_{1}\left(x\right)q_{2}\left(x\right)+r_{2}\left(x\right)$$ $$r_{1}\left(x\right) = r_{2}\left(x\right)q_{3}\left(x\right)+r_{3}\left(x\right)$$ $$……$$ $$r_{n-1}\left(x\right) = r_{n}\left(x\right)q_{n+1}\left(x\right)+0,$$ где $r_{k}, q_{k} \in P[x]$ при $k = 1,2,3,…,n,$ где $r_{k}$ — остаток, а $q_{k}$ — частное. В случае с целыми числами, остатки в алгоритме убывают, при многочленах же убывают степени остатка ($\deg \left(r_{n}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-1}\left(x\right)\right) < \deg \left(r_{n-2}\left(x\right)\right) < …$), это означает, что наступит момент деления без остатка. Поэтому НОД двух многочленов, по алгоритму Евклида, будет последний отличный от нуля остаток(в нашем случае $r_{n}$).
В доказательстве мы явно описали принцип работы алгоритма Евклида для нахождения НОД двух многочленов над одним полем.
Запишем тот же алгоритм делением в столбик.
Примеры решения задач
Решим пару простых задач, где используется алгоритм Евклида. Рекомендую решить задания самостоятельно, а потом смотреть решение.
Найти НОД $784$ и $552$ используя алгоритм Евклида. Решение
Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$784 = 552 \times 1 + 232$$ $$552 = 232 \times 2 + 88$$ $$232 = 88 \times 2 + 56$$ $$88 = 56 \times 1 + 32$$ $$56 = 32 \times 1 + 24$$ $$32 = 24 \times 1 + 8$$ $$24 = 8 \times 3 + 0,$$ где число $8$ — НОД $784$ и $552,$ так как это последний делитель.
Найти НОД $868$ и $923$ используя алгоритм Евклида. Решение
Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$923 = 868 \times 1 + 55$$ $$868 = 55 \times 15 + 43$$ $$55 = 43 \times 1 + 12$$ $$43 = 12 \times 3 + 7$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$12 = 7 \times 1 + 5$$ $$7 = 5 \times 1 + 2$$ $$5 = 2 \times 2 + 1$$ $$2 = 1 \times 2 + 0,$$ где число $1$ — НОД $868$ и $923,$ так как это последний делитель.
Найти НОД $52800$ и $54108$ используя алгоритм Евклида. Решение
Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$54108 = 52800 \times 1 + 1308$$ $$52800 = 1308 \times 480 + 480$$ $$1308 = 480 \times 2 + 348$$ $$480 = 348 \times 1 + 132$$ $$348 = 132 \times 2 + 84$$ $$132 = 84 \times 1 + 48$$ $$84 = 48 \times 1 + 36$$ $$48 = 36 \times 1 + 12$$ $$36 = 12 \times 3 + 0,$$ где $12$ — НОД $52800$ и $54108$.
Найти НОД $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3$ используя алгоритм Евклида. Решение
Для лучшего понимания распишу два деления. Одно в столбик, другое — по определению. Деление в столбик: Деление по определению: $$x^5-10x^3-20x^2-15x-4 = x\left(x^4-6x^2-8x-3\right) — 4x^3-12x^2-12x-4$$ $$x^4-6x^2-8x-3 = \left(- 4x^3-12x^2-12x-4\right)\left(- \frac{x}{4}\right) — 3x^3-9x^2x-9x-3$$ $$- 4x^3-12x^2-12x-4 =\left(-3x^3-9x^2x^2-9x-3\right)\left(-\frac{4}{3}\right) + 0,$$ где $3x^3-9x^2-9x-3$ — НОД многочленов $x^5-10x^3-20x^2-15x-4$ и $x^4-6x^2-8x-3,$ так как это последний делитель в алгоритме.
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
6
Информация
Проверка на освоение материала «Алгоритм Евклида».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
Пусть даны два целых числа $A, B$ последнее деление алгоритма Евклида представлено в виде $$r_{n-1} = r_{n}q_{n+1}+r_{n+1},$$ где $r_{n+1} = 0,$ где $r_{n} \neq A, r_{n} \neq B$ тогда НОД $A$ и $B$ будет:
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
2.
Выберите верные утверждения.
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 6
3.
Найдите НОД двух чисел.
Элементы сортировки
2
40
7
4
1
5
10
15
9854 и 9214
5000 и 6520
8512 и 5551
7012 и 6312
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Найдите НОД $987$ и $123$.
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 6
5.
Найдите НОД двух многочленов: $x^4+x^3+x^2+x+1$ и $4x^3+3x^2+2x+1$.
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
6.
Распишите числа, написанные в Алгоритме Евклида, по убыванию (от набольшего к наименьшему), если $A > B$ и $A,B \in Z^+,$ где $r_k$ — остаток. При $k = 1,2,3…n$.
