Рубрика: Математический анализ

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$-периодическую функцию $f(x)$. Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, где $$S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$$ а $D_n(t)$ — ядро Дирихле: $$D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$: $$\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$$ Обозначим $$F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$$ тогда $$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

1. $F_n(t)$ — четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция;
2. $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$;
3. $F_n(t) \ge 0$;
4. $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$.

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем $$(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$$ $$=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, $0 < \delta < \pi$.

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$.

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$.


Спойлер
По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$. Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$, выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$.
Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$. Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$. Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$, то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$, и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$, что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$.
[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$. Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$, $$\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$. Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$.

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$.

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$$ $$\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$-периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$. Пусть $\left| f(x) \right| < M$. Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$, что $\forall n > N$ выполнено неравенство $$\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$$ $$\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$$

Аналогично для всех $n > N$: $$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$.

Спойлер
Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$. Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$, $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$, $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$, $n = 1, 2, \ldots$. Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$.
[свернуть]

Литература

• Тер – Крикоров и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 596-598
• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 147-151

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Соотнесите выражения.

   Элементы сортировки

   • $\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
   • $\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

   • $D_n(t) =$

   • $F_n(t) = $

   • $\sigma_n(x) =$
2. Задание 2 из 5

   2.

   Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:

   • $F_n(t)$ - четная, $2\pi$-периодическая и непрерывная функция
   • $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
   • $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
   • $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.

   • равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
   • $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
   • ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
4. Задание 4 из 5

   4.

   Что такое суммы Фейера?

   • средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
   • среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
5. Задание 5 из 5

   5.

   К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$-периодической непрерывной функции $f(x)$?

Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция)

Определение

Эйлеровым интегралом первого рода (бета-функцией) называется функция вида
$$
B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot(1-x)^{\beta-1}\; \; dx.\; \; (1)
$$
График бета-функции можно посмотреть здесь.

Теорема (о свойствах интеграла первого рода)

Бета-функция имеет следующие свойства:

1. Область определения

   Для сходимости интеграла $(1)$ при $x=0$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: $\alpha>0$, а для сходимости интеграла при $x=1$ необходимо и достаточно, чтобы $\beta>0$.

2. Симметричность

   $$
   B(\alpha , \beta )=B(\beta , \alpha ).
   $$
   

   Доказательство

   $ B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; \; dx=$
   $=\begin{bmatrix}x=1-t & x=0 & t=1 \\ \; \; dx=-\; dt & x=1 & t=0 \end{bmatrix}=$
   $=-\overset {0}{ \underset {1}{\int}}(1-t)^{\alpha -1}\cdot (\not{1}-\not{1}+t)^{\beta -1}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\beta -1}\cdot (1-t)^{\alpha -1}\; dt=$
   $=B(\beta,\alpha). $

   [свернуть]

3. Формула понижения

   При $\alpha >1 $
   $$
   B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta).
   $$
   

   Доказательство

   $ B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; \; dx= $
   $=\begin{bmatrix}u=x^{\alpha -1} & dv=(1-x)^{\beta -1}\; \; dx \\ \; du=(\alpha -1)\cdot x^{\alpha -2}& v=\frac{(1- x)^{\beta }}{-\beta }\end{bmatrix}= $
   $=\left.-\frac{x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta }}{\beta }\right|^{\infty}_{0}+\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot (1-x)^{\beta}\; \; dx= $
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot( (1-x)^{\beta-1}\cdot (1-x))\; d\beta= $
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -2}\cdot( (1-x)^{\beta-1}-x\cdot (1-x)^{\beta -1})\; d\beta= $
   $=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot(B(\alpha-1,\beta)-B(\alpha,\beta)); $
   $ B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta)- \frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha,\beta)); $
   $ B(\alpha,\beta)(1+\frac{\alpha -1}{\beta })=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta); $
   $ B(\alpha,\beta)(\frac{\beta +\alpha -1}{\beta })=\frac{\alpha -1}{\beta }\cdot B(\alpha-1,\beta); $
   $ B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\not{\beta}}\cdot\frac{\not{\beta}}{\beta +\alpha -1}\cdot B(\alpha-1,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta). $

   [свернуть]

4. Интегральное представление бета-функции

   Интегральным представлением бета-функции называется функция вида
   $$
   B(\alpha,\beta)= \overset {\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha +\beta }}\; dy.
   $$
   

   Доказательство

   $ B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot (1-x)^{\beta -1}\; dx= $
   $=\begin{bmatrix}x=\frac{y}{1+y} \; \; \; \; \; dx=\frac{1+\not{y}-\not{y}}{(1+y)^{2}}\; dy=\frac{1}{(1+y)^{2}}\; dy\\1-x=1-\frac{y}{1+y}=\frac{1+\not{y}-\not{y}}{(1+y)}\; dy=\frac{1}{(1+y)} \; \; \; \\ x=0 \; \; \; y=0\\ x=1\; \; \; x=\frac{y}{1+y}-1=0 \; \; \; y \to \infty \; \; \; \frac{1}{(1+y)}=0 \end{bmatrix}=$
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}(\frac{y}{1+y})^{\alpha -1}\cdot (\frac{1}{(1+y)})^{\beta -1} \frac{\; dy}{(1+y)^{2}}= \overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha-1+\beta-1+2}}\; dy=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha +\beta}}\; dy.$

   [свернуть]

Примеры

• Пример 1

  $ \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{y^{-\frac{1}{2}}}{1+y}\; dy=$ $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dy}{\sqrt{y}\cdot(1+y)}=$ $\begin{bmatrix} y=z^{2}
  \end{bmatrix}=$ $\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{2\cdot \not{z}\; dz}{\not{z}(1+z^{2})}=$ $2\cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dz}{1+z^{2}}=$ $=2\cdot \left.\arctan z\right|^{\infty}_{0}=$ $2\cdot \frac{\pi }{2}=$ $\pi. $

  [свернуть]
• Пример 2

  $ I=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{p-1}\cdot (1-x^{m})^{q-1}\; \; dx\; \; p,q,m> 0$
  $I=\begin{bmatrix}x^{m}=t & x=\sqrt[m]{t}=t^{\frac{1}{m}} & x=0 & t=0 \\ &\; \; dx=\frac{1}{m}\cdot t^{\frac{1}{m}-1}\; dt & x=1 & t=1 \\ \end{bmatrix}=$
  $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(t^{\frac{1}{m}})^{p-1}\cdot (1-t)^{q-1}\cdot \frac{1}{m}\cdot t^{\frac{1}{m}-1}\; dt=$
  $=\frac{1}{m}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{p-1+1-m}{m}}\cdot (1-t)^{q-1}\; dt=$
  $=\frac{1}{m}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{p}{m}-1}\cdot (1-t)^{q-1}\; dt=\frac{1}{m} \cdot B(\frac{p}{m};q).$

  [свернуть]
• Пример 3

  $B(\frac{1}{2};\frac{1}{2})=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{1}{2}-1}\cdot (1-t)^{\frac{1}{2}-1}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\frac{\; dt}{\sqrt{t}\cdot \sqrt{1-t}}=$
  $=\begin{bmatrix} t=\cos^{2}\varphi\; \; \; \sqrt{\cos^{2}\varphi}=\cos\varphi & \sqrt{1-\cos^{2}\varphi}= \\ dt=2\cdot
  \cos\varphi\cdot(-\sin \varphi )\; \; d\varphi & =\sqrt{\sin^{2}\varphi}=\sin \varphi\\ t=0 & \varphi =\frac{\pi }{2} & \\ t=1& \varphi =0\end{bmatrix}=$
  $=-\overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\frac{2\cdot \not{\cos \varphi}\cdot \not{\sin\varphi}d\varphi}{\not{\cos \varphi}\cdot \not{\sin\varphi}}=2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \; \; d\varphi
  =\not{2}\cdot\frac{\pi }{\not{2}}=\pi. $

  [свернуть]
• Пример 4

  $ B(1,b)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{1-1}\cdot (1-t)^{b-1}\; dt=$
  $=\begin{bmatrix} t=\cos ^{2}\varphi & \; dt=2\cdot \cos \varphi\cdot (-\sin \varphi)\; \; d\varphi \\ t=0 &\varphi=\frac{\pi}{2}
  \\ t=1 & \varphi=0 \end{bmatrix}=$ $=\overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}(\sin^{2}\varphi)^{b-1}\cdot 2\cdot \cos \varphi \cdot \sin \varphi \; d\varphi=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\sin ^{2\cdot b-2}\varphi \cdot \cos
  \varphi \cdot \sin \varphi \; d\varphi=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}\sin ^{2\cdot b-1}\varphi \cdot \cos \varphi \; d\varphi=$ $\begin{bmatrix}t=\sin \varphi & \; dt=\cos \varphi \; \; d\varphi \\ \varphi=0 & t=0 \\ \varphi=\frac{\pi }{2} & t=1 \end{bmatrix}=$
  $=2\cdot \overset {\frac{\pi }{2}}{ \underset {0}{\int}}t^{2\cdot b-1}\; dt =\not{2}\cdot \left.\frac{t^{2\cdot b}}{\not{2}\cdot b}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{b}-0=\frac{1}{b}.$

  [свернуть]

Тесты на проверку усвоенного материала по бета-функции Эйлера

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по бета-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 3
   Рубрика: Математический анализ

   Как называется равенство вида [latex] B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta) [/latex] ?

   • Данное равенство называется формулой (понижения).
   Правильно
   

   Указанное равенство возможно только при [latex]\alpha >1 [/latex]

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 3
   Рубрика: Математический анализ

   Запишите выражение, пропущенное в формуле бета-функции: [latex] B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot(…)^{\beta-1}\; \; dx.[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Выражение 1-х  является пропущенным в формуле бета-функции.
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равняется [latex]B(m,n)[/latex].

   • $$\frac{m!\cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m-1)!\cdot (n-1)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot n!}$$
   • $$\frac{(m-1)!\cdot (n)!}{(m+n-1)!}$$
   • $$\frac{(m+n-1)!}{(m-1)!\cdot (n-1)!}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Из данного списка выберите функции, которые определяют бета-функцию.

   • $$\overset {\infty}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}(x-1)^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}x^{a}\cdot (1-x)^{b}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (1-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {\infty}{\underset{0}{\int}}x^{a-1}\cdot (-x)^{b-1}\; dx$$
   • $$\overset {1}{\underset{0}{\int}}(x-1)^{a-1}\cdot (-x)^{b-1}\; dx$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Образуйте соответствие между равными значениями.

   Элементы сортировки

   • $$B(7,3)$$
   • $$B(9,4)$$
   • $$B(3,2)$$

   • $$B(3,7)$$

   • $$B(4,9)$$

   • $$B(2,3)$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

   Подсказка

   Для ответа на данный вопрос используйте свойство симметричности.

Эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция)

Определение

$$\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; dx.\; (2)$$
Функция, определённая интегралом $(2)$, называется эйлеровым интегралом второго рода (гамма-функция).

График гамма-функции

Графическое изображение интеграла второго рода

Теорема (о свойствах гамма-функции Эйлера)

Гамма-функция имеет следующие свойства:

1. Область определения

   Для сходимости интеграла $(2)$ в нуле требуется, чтобы выполнялось условие $\alpha > 0$. На бесконечности интеграл $(2)$ сходится при
   любом $\alpha \in R $, так как множитель $e^{-x} $ убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной $x $.
   Таким образом, функция $(2)$ определена при $\alpha > 0$.

2. Формула для производных гамма-функции

   Производная гамма-функции Эйлера определяется формулой
   $$
   \Gamma^{n}(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\ln ^{n}x\; \; dx.\; (3)
   $$
   

   Доказательство

   При получении формулы $(3)$ было проведено дифференцирование гамма-функции Эйлера $(2)$, для чего операция дифференцирования была внесена под знак интеграла:
   $ {\Gamma}'(\alpha )=\frac{d}{d\alpha } \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{d}{d\alpha }\cdot
   x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx= $
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln x\; \; dx,$
   ${\Gamma}»(\alpha )=\frac{d}{d\alpha } \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln x\; \; dx= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x} \ln ^{2}x\; \; dx,…\; .$
   Для законности этой операции необходимо доказать равномерную сходимость относительно параметра $\alpha $ интеграла $(3)$ при $n\in N $
   на каждом отрезке $[a;b] \in (0;+\infty)$.
   Если $0<a\leq \alpha$, то т.к $x^{\frac{\alpha }{2}}\cdot \ln ^{n}x \to 0 $ при $x \to 0 $ найдётся такое число
   $c_{n}>0$, что
   $$
   \begin{vmatrix}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln^{n}x \end{vmatrix}<x^{\frac{\alpha }{2}-1}
   $$
   при $0<x\leq c_{n}$.
   На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл $\int_{0}^{c_{n}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{n}x\; \; dx $
   сходится равномерно по $ \alpha$ на промежутке $[a;+\infty] $.
   Если $\alpha\leq b<+\infty$, то при $x\geq 1$
   $$
   \begin{vmatrix}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\cdot \ln^{n}x\end{vmatrix}\leq x^{b-1}\cdot e^{-x}\cdot \begin{vmatrix}\ln ^{n}x\end{vmatrix}.
   $$
   На основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл $\int_{c_{n}}^{+\infty}x^{\alpha-1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{n}x\; \; dx $
   сходится равномерно по $\alpha$ на промежутке $(0;b)$.Таким образом,интеграл $(3)$ сходится равномерно по $\alpha$ на любом
   отрезке $[a;b] \in (0;+\infty)$. А это означает, что дифференцирование под знаком интеграла законно.
   Следовательно, на всём промежутке$\alpha >0 $ гамма-функция бесконечно дифференцируема и для неё справедлива формула $(3)$.

   [свернуть]

3. Формула понижения

   Соотношение вида
   $$
   \Gamma(\alpha +1)=\alpha \cdot \Gamma(\alpha )
   $$
   называется формулой понижения для гамма-функции Эйлера.
   

   Доказательство

   $\Gamma(\alpha +1)= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha}\cdot e^{-x}\; \; dx=\begin{bmatrix} u=x^{\alpha } \; \; \; dv=e^{-x}\; \; dx\\ \; du=\alpha \cdot x^{\alpha -1}\; \; dx \; \; \; v=-e^{-x} \end{bmatrix}=$
   $=\left.\begin{matrix}x^{\alpha}\cdot e^{-x}\end{matrix}\right|^{\infty}_{0} + \alpha \cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\; \; dx=\alpha \cdot \Gamma(\alpha ).$
   Замечание
   $\Gamma(1)= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}e^{-x}\; \; dx=1$. Из этого свойства гамма-функции вытекает, что при $n \in N$:
   $\Gamma(n)=n\cdot \Gamma(n)=n\cdot (n-1)\cdot \Gamma(n-1)=$ $=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \Gamma(n-2)=…=$ $=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot…\cdot 1=n!\; .$
   То есть $\Gamma(n)=n! \; $.

   [свернуть]

4. Формула Эйлера-Гаусса

   Равенство вида
   $$
   \Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty}n^{\alpha }\cdot \frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot …(\alpha +n-1)}
   $$
   называется формулой Эйлера-Гаусса.
   

   Доказательство

   В интеграле $\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx$ проделаем замену.
   $\Gamma(\alpha )=\begin{bmatrix}x=\ln \frac{1}{u} \; \; \; \; \; dx=\frac{1}{\frac{1}{u}}\cdot ({\frac{1}{u}})’=u\cdot (-\frac{1}{u^{2}})=-\frac{1}{u}\; du \\ x=0\; \; \; \ln \frac{1}{u}=0 \; \; \; u=1 \\ x=\infty\; \; \; \ln \frac{1}{u}=\infty \; \; \; u=0 \end{bmatrix}=$
   $=\overset {0}{ \underset {1}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot e^{\ln(\frac{1}{u})^{-1}}d(-\frac{1}{u})\; du=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot(\frac{1}{u})^{-1}\cdot(\frac{1}{u})\; du=$
   $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha -1}\cdot\not{u}\cdot \frac{1}{\not{u}}\; du= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\; du.\; (4)$
   Формула $(4)$ является иным интегральным представлением гамма-функции Эйлера. Используем соотношение:
   $$
   \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot (\frac{1}{u})\; du=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-u^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\; du.\;
   $$
   Проделаем замену переменной $u=v^{n}$.
   $\Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-(v^{n})^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\cdot n\cdot v^{n-1}dv=$
   $=\begin{bmatrix}\; du=n\cdot v^{n-1}dv\end{bmatrix}=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-v)^{\alpha -1}\cdot v^{n-1}dv=$
   $=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(n,\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(\alpha,n)=$
   $=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot\frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot …\cdot (\alpha +n-1)}.$

   [свернуть]

5. Связь между бета- и гамма-функцией

   Связь бета- и гамма-функции определяется формулой
   $$
   B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma(\alpha )\cdot \Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}.
   $$
   

   Доказательство

   Используем интегральное представление бета-функции. Для этого проведём замену переменной
   $B(x ,y )=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\; dt=\begin{bmatrix}t=\frac{\tau }{1+\tau } \end{bmatrix}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\tau ^{x-1}}{(1+\tau )^{x-1}}\cdot (\frac{1}{1+\tau })^{y-1}\frac{\; d\tau }{(1+\tau )^{2}}=\begin{bmatrix}\; dt=\frac{1+\tau- \tau }{(1+\tau )^{2}\; d\tau }\end{bmatrix}=$ $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\tau ^{x-1}}{(1+\tau )^{x+y}}\; d\tau. $
   В интегральном представлении гамма-функции также проведём замену переменной:
   $\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; \; dx=\begin{bmatrix}x=s\cdot u & \; \; dx=u\; \; ds\end{bmatrix}=$
   $=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}(s\cdot u)^{\alpha-1}\cdot e^{-s\cdot u}\cdot u\; \; ds=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}s^{\alpha-1}\cdot u^{\alpha}\cdot e^{-s\cdot u}\; \; ds.$
   Откуда
   $$
   \frac{\Gamma(\alpha )}{u^{\alpha }}= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{\alpha -1}\cdot e^{-s\cdot u}\; \; ds.\; (5)
   $$
   Положим в формуле $(5)\; \alpha =x+y,u=1+\tau $:
   $$
   \frac{\Gamma(x+y)}{(1+\tau )^{x+y}}= \overset {\infty}{\underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; \; ds.
   $$
   Умножим обе части полученного равенства на $\tau ^{x-1}$ и проинтегрируем на промежутке$\tau \in (0;+\infty)$:
   $
   \Gamma(x+y)\cdot \overset{\infty}{\underset {0}{\int}}(1+\tau)^{-x-y}\cdot \tau ^{x-1}\; d\tau=$
   $=\overset{\infty}{\underset{0}{\int}}\tau^{x-1}\int_{o}^{\infty}s^{x+y-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; \; ds\; d\tau.
   $
   Подсчитаем интеграл в правой части полученного соотношения:
   $ \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\tau ^{x-1}\cdot e^{-s\cdot (1+\tau )}\; d\tau=$
   $= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds\cdot \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\tau ^{x-1}\cdot e^{-s\cdot t}\; d\tau=$
   $=\begin{bmatrix}t=s\cdot \tau & \tau =\frac{t}{s} &\; dt=s\; d\tau \end{bmatrix}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}s^{x+y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset
   {0}{\int}}\frac{t^{x-1}}{s^{x-1}}\cdot e^{-t}\frac{\; dt}{s}=$
   $=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\not{s^{x+y-1}}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{t^{x-1}\cdot e^{-t}}{\not{s}}\; dt=\overset {\infty}{\underset {0}{\int}}s^{y-1}\cdot e^{-s}\; \; ds \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{x-1}\cdot e^{-t}\; dt=$
   $=\Gamma(y)\cdot \Gamma(x); \; \Gamma(x+y)\cdot B(x,y)=\Gamma(y)\cdot \Gamma(x).$
   $B(x,y)=\frac{\Gamma(y)\cdot \Gamma(x)}{\Gamma(x+y)}.$

   [свернуть]

Примеры

• Пример 1

  $\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\ln ^{p}\frac{1}{x}\; \; dx=\begin{bmatrix}\frac{1}{x}=e^{t} & x=e^{-t}& x=1 & t=\infty \\ \; \; dx=-e^{-t}\; dt& x=0 & t=\infty \end{bmatrix}=$
  $=-\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\ln ^{p}(e^{t})\cdot e^{-t}\; dt= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}\frac{\ln^{p}(e^{t})\; dt}{e^{t}}= \overset {\infty}{ \underset{0}{\int}}\frac{(\ln e^{t})^{p}\; dt}{e^{t}}=\overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{p}\cdot e^{-p}\; dt=$ $=\Gamma (p+1).$

  [свернуть]
• Пример 2

  $\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\sqrt{t-t^{2}}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}\sqrt{t\cdot (1-t)}\; dt=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{1}{2}}\cdot (1-t)^{\frac{1}{2}}\; dt=$
  $=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}t^{\frac{3}{2}-1}\cdot (1-t)^{\frac{3}{2}-1}\; dt=B(\frac{3}{2};\frac{3}{2})=\frac{\Gamma (\frac{3}{2})\cdot \Gamma (\frac{3}{2}) }{\Gamma (\frac{3}{2}+\frac{3}{2})}=\frac{(\Gamma (1+\frac{1}{2}))^{2}}{\Gamma(3)}=$
  $=\begin{bmatrix}\Gamma (3)=2 \\ \Gamma (\frac{1}{2})= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}t^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t}\; dt=\sqrt{\pi }\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2}\cdot \Gamma (\frac{1}{2}))^{2}=$
  $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot \pi =\frac{\pi }{8}.$

  [свернуть]

Тесты на проверку усвоенного материала по гамма-функции Эйлера

Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
Информация
Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по гамма-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
1. Математический анализ 0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
Имя: E-Mail:
Капча:
максимум из 20 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
1. С ответом
2. С отметкой о просмотре
1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Расставьте ниже приведенные выражения в таком порядке, чтобы в результате получился правильный процесс замены переменной [latex]u=v^{n}[/latex] в соотношении [latex]\overset {1}{ \underset {0}{\int}}(\ln \frac{1}{u})^{\alpha-1}\cdot (\frac{1}{u})\; du=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-u^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\; du.\;[/latex].

   • $$\Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha -1}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-(v^{n})^{\frac{1}{n}})^{\alpha -1}\cdot n\cdot v^{n-1}dv=$$
   • $$=\begin{bmatrix}\; du=n\cdot v^{n-1}dv\end{bmatrix}=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot \overset {1}{ \underset {0}{\int}}(1-v)^{\alpha -1}\cdot v^{n-1}dv=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(n,\alpha )=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot B(\alpha,n)=$$
   • $$=\lim_{n \to \infty }n^{\alpha}\cdot\frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot ...\cdot (\alpha +n-1)}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 6
   Рубрика: Математический анализ

   Совместите функции с соответствующими производными.

   Элементы сортировки

   • $$ \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{2}x\; dx $$
   • $$ \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{3}x\; dx $$
   • $$ \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{5}x\; dx $$

   • $$ {\Gamma}'' {(\alpha)} $$

   • $$ {\Gamma}''' {(\alpha)} $$

   • $$ {\Gamma}''''' {(\alpha)} $$

   Правильно
   

   Неправильно
   

   [latex] {\Gamma}» {(\alpha)}= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{2}x\; dx [/latex]

   [latex] {\Gamma}»’= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{3}x\; dx{(\alpha)} [/latex]

   [latex]{\Gamma}»»’ {(\alpha)}= \overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\cdot \ln ^{5}x\; dx [/latex]
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 4
   Рубрика: Математический анализ

   Дополните формулировку одного из свойств гамма-функции:
   Формулой $$ \Gamma^{n}(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\ln ^{n}x\; dx $$ определяется

   • (Производная) гамма-функции Эйлера.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равно $$ \Gamma (6). $$

   • $$ \Gamma (\frac{1}{6}) $$
   • $$ 3\cdot \Gamma (2) $$
   • $$ 5\cdot \Gamma (6) $$
   • $$ 6 \cdot \Gamma (6) $$
   • $$ 6\cdot \Gamma (5) $$
   • $$ 5\cdot \Gamma (5) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Используя формулу понижения, в результате получаем [latex]5\cdot \Gamma (5)[/latex]
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2
   Рубрика: Математический анализ

   Определите, чему равно [latex]\Gamma (\frac{1}{2})[/latex].

   • $$ \sqrt{\pi }$$
   • $$ \pi $$
   • $$ 2\cdot \pi $$
   • $$ \frac{1}{4} $$
   • $$ \frac{1}{4}\cdot \Gamma (\frac{1}{2}) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.: Физмалит, 2001г., том 2, стр.750
• Зорич В.А. Математический анализ, М.: Фазис, 1984г., том 2, стр.431
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, М.: Дрофа, 2003г., том 2, стр.684

Пусть дана гладкая кривая [latex]\Gamma[/latex], которая задана уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex] и пусть функция [latex]f(x, y, z)[/latex] непрерывна вдоль кривой [latex]\Gamma[/latex]. Тогда существует криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] и выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt.$$

Замечания:

• Если [latex]\Gamma =\left \{ y = \psi(x), \alpha \leq x\leq \beta \right \}[/latex] и [latex]y = \psi(x)[/latex] непрерывно дифференцируема на отрезке [latex][a,b][/latex] и существует криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma}f(x, y)ds[/latex], то выполняется равенство:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2}\,dx.$$
• Если [latex]\Gamma =\left \{ x = \varphi (y), \alpha \leq y\leq \beta \right \}[/latex], то
  $$ { \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(\varphi (y), y)\sqrt{1 +(\varphi'(y))^2}\,dy.$$

  [spoilergroup]
  

  Пример

  Вычислить криволинейный интеграл первого рода $$I = { \underset { \Gamma }{ \int } }(x+y)\,ds,$$
  где кривая [latex]\Gamma[/latex] — граница треугольника с вершинами [latex]O(0;0)[/latex], [latex]A(1;0)[/latex], [latex]B(1;1)[/latex].

  
  Решение

  Пусть [latex]I_1[/latex], [latex]I_2[/latex], [latex]I_3[/latex] — криволинейные интегралы первого рода от функции [latex]x+y[/latex] по отрезкам [latex]OA[/latex], [latex]AB[/latex], [latex]BO[/latex]. Отрезок [latex]AB[/latex] задан уравнением [latex]x=1[/latex], [latex]0\leq y\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_2 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}(y+1)\,dy = \frac{3}{2}.$$
  Отрезок [latex]BO[/latex] задан уравнением [latex]y = x[/latex], [latex]0\leq x\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_3 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}2x\sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}.$$
  Отрезок [latex]AO[/latex] задан уравнением [latex]y = 0[/latex], [latex]0\leq x\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_1= \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}x\,dx = \frac{1}{2}.$$
  Отсюда следует, что [latex]I = I_1 + I_2 + I_3 = \sqrt{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \sqrt{2}[/latex].

  [свернуть]
  .
  [/spoilergroup]
• В случае, если кривая [latex]\Gamma[/latex] задана в полярной системе координат, то есть [latex]\Gamma = \left \{ \left. r = r(\varphi), \varphi_1\leq \varphi \leq \varphi _2 \right \} \right.[/latex] и [latex]r(\varphi)[/latex] непрерывно дифференцируема на отрезке [latex][\varphi_1, \varphi_2][/latex], то выполняется равенство:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {(r'(\varphi))^2}}\,d\varphi.$$

  [spoilergroup]
  

  Пример

  Вычислить криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma }\sqrt{x^2 + y^2}{\mathrm{d} s}[/latex], где кривая [latex]\Gamma[/latex] задана уравнением [latex](x^2+y^2)^{\frac{3}{2}} = a^2(x^2 — y^2)[/latex].

  Решение

  Совершим переход к полярной системе координат, тогда [latex]x = r\cos\varphi[/latex], [latex]y = r\sin\varphi[/latex]. В этом случае уравнение кривой можно записать в следующем виде: [latex]r = a^2\cos2\varphi[/latex], [latex]\varphi \in\Phi = \left \{ \varphi , -\frac{\pi }{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{4}, \frac{3\pi }{4}\leq \varphi \leq \frac{5\pi }{4}\right \}[/latex].

  Для того, чтобы вычислить криволинейный интеграл первого рода воспользуемся равенством:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {r’}^2(\varphi)}\,d\varphi.$$
  Поскольку,
  \(\sqrt{x^2 + y^2} = r = a^2\cos2\varphi\), \(\sqrt{r^2 + r’^2} = a^2\sqrt{1+3\sin^22\varphi }\),
  то
  \({ \underset {\Gamma}{ \int }}\sqrt{x^2 + y^2}\,ds = { \underset {\varphi\in\Phi}{ \int }}a^4\cos2\varphi\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi}\,d\varphi = \)
  \(=\frac{2a^4}{2\sqrt{3}}\overset {\frac{\pi}{4}}{ \underset {-\frac{\pi}{4}}{ \int }}\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi }\,d(\sqrt{3}\sin2\varphi) = 2a^4 + \frac{a^4}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}+2)\).

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
• Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. — 2-е изд., 2003 г. стр. 255-256, 259
• Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Какие условия гарантируют выполнение равенства ${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt$

   • Функция $f(x, y, z)$ непрерывна вдоль кривой $\Gamma$.
   • Существует криволинейный интеграл первого рода ${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds$.
   • Кривая $\Gamma$ является гладкой.
   • Функция $f(x, y, z)$ монотонно возрастает на $\mathbb{R^3}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Вычислить криволинейный интеграл первого рода ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl$, где кривая $\Gamma$ — астроида $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$

   • $4a$
   • $4a^{\frac{7}{3}}$
   • $4$
   • $4a^{\frac{3}{7}}$
   Правильно
   

   Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
   ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
   $=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
   $ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$

   Неправильно
   

   Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
   ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
   $=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
   $ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Разместить значения интегралов в порядке убывания:

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds$, где $\Gamma$ - отрезок прямой между точками $M_1(8, 9,3)$ и $M_2(6, 10,5)$
   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$, где $\Gamma$ - окружность $x^2 + y^2 = R$
   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$ по дуге окружности $x(t) = \cos t$, $y(t) = \sin t$, $\frac{\pi}{2}\leq t\leq \pi$
   Правильно
   

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$

   Неправильно
   

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$