Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

Теорема (о минимальном свойстве частичных сумм ряда
Фурье). Среди всех сумм вида $\sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k$
k=1 ckϕk наименьшее отклонение по норме данного евклидова пространства от элемента $f$ имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элемента $f$, т. е.
$$\inf\limits_{c_1,…,c_n \in \mathbb{R}}\left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|= \left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}a_k\varphi_k \right \|$$
$a_k$ – коэффициенты Фурье функции $f, n \in \mathbb{R} $.
Доказательство.
Так как $\{\varphi_k\}$ ортонормированная система
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = \left ( f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k, f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right) = $$ $$=\sum\limits_{k=1}^{n}c_k^2 — 2\sum\limits_{k=1}^{n}c_k(f,\varphi_k)+(f,f)
=$$ $$= \sum\limits_{k=1}^{n}(c_k-(f,\varphi_k))^2 -\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2 +(f,f) \ge (f,f)-\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2$$
Равенство достигается тогда и только тогда, когда $c_k=(f,\varphi_k)$
Следствие 1
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой системе $\{\varphi_k\}$,то
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = {\|f\|}^2 -\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2$$
Следствие 2 — неравенство Бесселя
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой ортонормированной системе, то
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k^2 \le {\|f\|}^2$$
(Вытекает из следствия 1 при $n \to \infty$ )
Литература

  • Конспект Кореновского А.А.
  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу в двух частях, ч.2, 2010

Ортонормированные системы в Гильбертовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

Ортогональные системы функций.
Система функций $\Phi=\{\varphi_n\}_{n=0}^{\infty}$ называется ортогональной на $[a,b]$, если $\varphi_n \in R[a,b]$ и $\int\limits_a^b \varphi_n(x)\varphi_m(x) dx = 0 (n \neq m)$, $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx > 0$
Если $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx=1$, то система называется ортонормированной.
Пример:
Тригонометрическая система $$1, \cos{x}, \sin{x},…, \cos{nx},\sin{nx},… ;x\in [-\pi,\pi]$$
Ряд Фурье по ортогональной системе.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, а $\{\varphi_k(x)\}$— ортогональная на $[a,b]$ система непрерывных функций, при чем ни одна из них тождественно не равна нулю на отрезке $[a,b]$. Говорят, что функция $f(x)$ разложена на отрезке $[a,b]$ по ортогональной системе функций $\{\varphi_k(x)\}$ в сходящийся ряд, если существует числовая последовательность $\{a_k\}$, такая, что функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x) $сходится к $f(x)$, то есть $f(x)$= $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)$, $x \in [a,b]$ (1)
Лемма
Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на $[a,b]$, то справедливо: $a_n=\frac{\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx}{\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx}$, $n \in \mathbb{N}$
Доказательство:
Так как $\varphi_n(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то она ограничена(по теореме Вейерштрасса). При умножении ограниченной функции на равномерно сходящийся ряд, получим равномерно сходящийся ряд, поэтому
$$f(x)\varphi_n(x)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)\varphi_n(x)$$
По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда, и так как $\varphi_k(x)$ ортогональны на $[a,b]$, получаем
$$\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx = \int\limits_a^b(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x))\varphi_n(x)dx =\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\int\limits_a^b \varphi_k(x)\varphi_n(x) dx = $$
$$=a_n\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx $$
Отсюда и следует формула для коэффициентов $a_n$, поскольку функция $\varphi_n(x)$ тождественно не равна нулю и непрерывна на $[a,b]$.
Числа $a_n$ называются коэффициентами Фурье, а ряд (1) —рядом функции $f(x)$ по ортогональной системе функций$ \{\varphi_k\}$
Ряд Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе на отрезке $[-l,l]$будем записывать в виде
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\cos{\frac{k\pi x}{l}}+b_k\sin{\frac{k\pi x}{l}}$$
Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ можно вычислить по формулам:
$$a_0 = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}} dx$$
$$b_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}} dx , n \in \mathbb{N}$$
В частности, при $l = \pi$
$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{nx} dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{nx} dx , n \in \mathbb{N}.$$
Литература

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда, вторая теорема Абеля

Теорема 1

Пусть дан степенной ряд

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\quad (1)$$
радиус сходимости которого $R > 0$. Тогда для любого $r$, такого, что
$0 < r < R$, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$.

Доказательство

В каждой точке, лежащей внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится абсолютно. Тогда возьмем вместо $x$ число $r$, такое что выполняется условие: $0\leq r\leq R$.
Тогда сходится числовой ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\mid a_{n}\mid r^{n}$. Поэтому, в силу признака Вейерштрасса, из неравенства $\mid a_{n}x^{n}\mid\leq\mid a_{n}\mid r^{n}\left ( \mid x\mid\leq r \right )$ заключаем, что
ряд (1) сходится равномерно на $\left [ -r,r \right ]$.

Теорема 2

Сумма степенного ряда (1) с радиусом сходимости
$R > 0$ является непрерывной функцией на интервале сходимости $\left ( -R, R \right )$.

Доказательство

Согласно предыдущей теореме, ряд (1) равномерно сходится на $\left [ -r,r \right ]$ $\subset$ $\left ( -R, R \right )$, однако про весь интервал это точно утверждать нельзя, так как на интервале $\left ( -R, R \right )$ ряд (1) может сходиться и неравномерно. Пусть $x_{0}\in\left ( -R, R \right )$. Выберем такое $r$, что $x_{0}$<$r$<$R$. Так как $x_{0}$ – внутренняя точка отрезка $\left [ -r,r \right ]$ и на $\left [ -r,r \right ]$ ряд (1) сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, сумма ряда (1) является непрерывной функцией на $\left [ -r,r \right ]$, включая точку $x_{0}$.
Поскольку точку$x_{0}\in\left ( -R, R \right )$ мы взяли произвольную, то сумма ряда (1) непрерывна на интервале $\left ( -R, R \right )$.

Теорема 3

Если степенной ряд (1) с радиусом сходимости $R$>$0$
расходится в точке $x = R$ или $x=-R$, то он не является равномерно сходящимся на $\left ( -R, R \right )$.

Доказательство

Пусть ряд (1) расходится при $x=R$. В случае, если
бы ряд  (1) на $\left ( -R, R \right )$ сходился равномерно, то, согласно теореме о почленном переходе к пределу, мы получили бы, что сходится ряд из
пределов

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\lim\limits_{x\rightarrow R-0}a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$,
однако это противоречит предположению. Теорема доказана.

 

Спойлер

slsls

[свернуть]

Вторая теорема Абеля

Если $R$ – радиус сходимости ряда $\sum\limits{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ и это ряд сходится  при $z=R$, то он сходится равномерно на от отрезке $\left [ 0;R \right ]$ действительной оси.

Доказательство

Пусть $x$ не превышает радиуса сходимости ряда. То есть:$0\leq x\leq R$. Заменим переменную $x$ на $R$ и получим из ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{n}$ ряд, имеющий вид: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R_{n}\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}$. Видим, что полученный ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}R^{n}$ не зависит от переменной $x$, тогда его сходимость означает и равномерную сходимость. Очевидно, что последовательность ${ \left ( \frac{x}{R} \right )^{n}}$ ограничена на отрезке $\left [ 0;R \right ]$, ее члены неотрицательны: $0\leq\left ( \frac{x}{R} \right )^{n}\leq 1$. Эта последовательность убывает в каждой точке (при $x=R\quad$ она не строго убывает, точнее, является стационарной). Значит выполняются условия признака Абеля равномерной сходимости рядов. То есть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ равномерно сходится на отрезке $\left [ 0;R \right ]$.

Источники:

Тест для закрепления материала.

Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Тогда декартовым произведением $A\times B$ называется множество пар $\left(x,y \right)$, $x\in A$, $y\in B$.

Клеточной окрестностью точки $x^{0}=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0} \right)$ называется множество $K\left(x^{0} \right)=\left\{x: x\in R^{n}, \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$, $\varepsilon _{i}>0$, $i=\overline{1, n}$.

Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ — это клеточная окрестность точки $\left(x^{0},y^{0} \right)=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)$ в пространстве $R^{n+m}$.

Определение

Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.

Доказательство

Спойлер

Докажем методом индукции по числу уравнений $m$.
Б.И. При $m=1$ доказательство проводится, как в теореме о неявной функции одной переменной.
П.И. Предположим, что теорема справедлива, когда содержит $m-1$ уравнений.
Ш.И. Докажем, что условие теоремы выполняется для $m$ уравнений.

По третьему условию теоремы определитель не равен нулю. Разложим его по элементам последней строки. Тогда хотя бы один из соответствующих миноров $m-1$-го порядка отличен от нуля. Пусть, например,
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m-1}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m-1}}{\partial y_{m-1}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда по предположению индукции существуют такие клеточные окрестности

$K_{1}=\left\{\left(x, y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}’, i=\overline{1, n}, \left|y_{m}-y_{m}^{0} \right|<\delta _{m}’ \right\}$,

$Q_{1}=\left \{ \left ( y_{1},…,y_{m-1} \right ): \left | y_{j}-y_{j}^{0} \right |\leqslant \delta ‘_{j}, j=\overline{1,m-1} \right \}$,

в которых система первых $m-1$ уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет $y_{1},…, y_{m-1}$ как неявные функции переменных $x_{1},…,x_{n},y_{m}$, т.е. $y_{j}=\psi _{j}\left(x, y_{m} \right), j=\overline{1, m-1}$.

Функции $\psi _{j}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируемы и $\psi _{j}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=y_{j}^{0}$, $j=\overline{1,m-1}$; $\left(x, y_{m} \right)\in K_{1}$, $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$.

Если $K_{2}=\left\{\left(x_{1},…,x_{n} \right): \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon ‘_{i}, i=\overline{1,m} \right\}$,

$Q_{2}=\left\{\left(y_{1},…,y_{m} \right): \left|y_{j}-y_{j}^{0} \right|<\delta ‘_{j}, j=\overline{1,m} \right\}$,

то при $x\in K_{2}, y\in Q_{2}$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ эквивалентна следующей системе:

$y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$.

Уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ может быть разрешено относительно $y_{m}$, так как для него выполнены все условия теоремы о неявной функции одной переменной. $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)$ непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций.

Следовательно,
$\tilde{F}_{m}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right)=F_{m}\left(x^{0}, \psi _{1}\left(x^{0},y_{m}^{0} \right),…,\psi _{m-1}\left(x^{0},y_{m}^{0}\right),y_{m}^{0}\right)=F\left(x^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)=0$.

Теперь проверим условие $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}\neq 0$ для аргументов $x^{0}, y^{0}_{m}$.

Если оно не выполнено, то $\frac{\partial \tilde{F}_{m}}{\partial y_{m}}=\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{p}}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}=0$.

Дифференцируя по $y_{m}$ тождества $F_{j}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)\equiv 0$ в точке $\left(x^{0},y^{0} \right)$, получаем

$\sum_{p=1}^{m-1}{\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{p}}\frac{\partial \psi _{p}}{\partial y_{m}}+\frac{\partial F_{j}}{\partial y_{m}}}=0$, $j=\overline{1,m-1}$.

Следовательно, последний столбец определителя есть линейная комбинация остальных его столбцов, тогда определитель равен нулю, а это противоречит условию теоремы.

Выполняются все условия теоремы о неявной функции одной переменной, значит существует окрестность $K=\left\{\left(x,y_{m} \right): \left|x_{i}-x_{i^{0}} \right|<\varepsilon _{i}<\varepsilon _{i}’, i=\overline{1,n}; \left|y_{m}-y_{m^{0}} \right|<\delta _{m}<\delta _{m}’ \right\}$, в которой уравнение $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=0$ определяет $y_{m}$ как неявную непрерывно дифференцируемую функцию $y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, причём $y_{m}^{0}=\varphi _{m}\left(x^{0} \right)$.

В окрестности $K$ система $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $\tilde{F}_{m}\left(x,y_{m} \right)=F_{m}\left(x, \psi _{1}\left(x,y_{m} \right),…,\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right), y_{m} \right)=0$ эквивалентна и системе $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, и системе: $y_{1}-\psi _{1}\left(x,y_{m} \right)=0,…,y_{m-1}-\psi _{m-1}\left(x,y_{m} \right)=0$, $y_{m}-\varphi _{m}\left(x \right)=0$.

Данная система, в свою очередь, эквивалентна следующей: $y_{1}=\varphi _{1}\left(x \right),…,y_{m}=\varphi _{m}\left(x \right)$, где $\varphi _{1}\left(x \right)=\psi _{1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right),…,\varphi _{m-1}\left(x \right)=\psi _{m-1}\left(x,\varphi _{m}\left(x \right) \right)$, причём $\varphi _{1}\left(x^{0} \right)=y_{1}^{0},…,\varphi _{m}\left(x^{0} \right)=y_{m}^{0}$.

Уравнения $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ неявно определяют систему функций $\varphi _{1}\left(x \right),…,\varphi _{m}\left(x \right)$ в окрестности $K\times Q$ точки $\left(x^{0},y^{0} \right)$, где

$K=\left\{x: \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|<\varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$,

$Q=\left\{y: \left|y_{i}-y_{i}^{0} \right|<\delta _{i}, j=\overline{1, m} \right\}$, $\delta _{j}=\delta ‘_{j}$ при $ j=\overline{1, m-1}$.

[свернуть]

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:

  1. Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
  2. $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
  3. $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Доказательство

Спойлер

Докажем существование неявной функции. Так как, по условию, $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$, то $F_{y}\left(x, y \right)>0$ либо $F_{y}\left(x, y \right)<0$. Без ограничения общности будем считать $F_{y}\left(x, y \right)>0$. Иначе можно было бы взять эквивалентную функцию $-F_{y}\left(x, y \right)=0$. Тогда $-F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)>0$. Функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна в точке $\left(x_{0}, y_{0} \right)$ и принимает в этой точке положительное значение. Следовательно, существует такой прямоугольник (рис.) $K_{1}=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a_{1}, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$, $K_{1}\in R^{2}$, в котором $F_{y}\left(x, y \right)>0$.

рис

Рассмотрим функцию одной переменной $\psi \left(y \right)=F\left(x_{0}, y \right)$, где $y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b$. $\psi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$, так как $\psi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x_{0}, y \right)>0$.
В силу того, что $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$, $\psi \left(y_{0} \right)=F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$.

Следовательно, $\psi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}-b \right)<0$, $\psi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x_{0}, y_{0}+b \right)>0$.

Так как функция $F\left(x, y \right)$ непрерывна, эти неравенства выполняются в некоторых окрестностях точек $\left(x_{0}, y_{0}-b \right)$ и $\left(x_{0}, y_{0}+b \right)$. Поэтому $\exists a\in \left(0, a_{1} \right):$  $\forall x \in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ выполняется $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$.

Покажем, что в прямоугольнике $K=\left\{\left(x, y \right): \left|x-x_{0} \right|\leq a, \left|y-y_{0} \right|\leq b \right\}$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Для произвольной точки $x*\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ рассмотрим непрерывную на $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ функцию одной переменной $\varphi \left(y \right)=F\left(x*, y \right)$.

Так как $F\left(x, y_{0}-b \right)<0$, $F\left(x, y_{0}+b \right)>0$, $\varphi \left(y \right)$ принимает на концах отрезка значения разных знаков: $\varphi \left(y_{0}-b \right)=F\left(x*, y_{0}-b \right)<0$, $\varphi \left(y_{0}+b \right)=F\left(x*, y_{0}+b \right)>0$.

По теореме Коши о нулях непрерывной функции $\exists y*\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]: \varphi \left(y* \right)=F\left(x*, y* \right)=0$.

Так как $\varphi ‘\left(y \right)=F_{y}\left(x*, y \right)>0$, то функция $\varphi \left(y \right)$ строго возрастает на отрезке $\left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]$ и не может обратиться на этом отрезке в нуль более одного раза.

Таким образом, $\forall x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$ $\exists !y\in \left[y_{0}-b; y_{0}+b \right]:$$ F\left(x, y \right)=0$. Следовательно, в прямоугольнике $K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]
Спойлер

Докажем непрерывную дифференцируемость неявной функции. Так как функция $F_{y}\left(x, y \right)$ непрерывна на замкнутом прямоугольнике $K$, то по теореме Вейерштрасса она принимает на этом прямоугольнике своё наименьшее значение $\alpha $. $F_{y}\left(x, y \right)>0$ на $K$, следовательно $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, где $\left(x, y \right)\in K$.

Непрерывная на $K$ функция $F_{x}\left(x, y \right)$ ограничена на $K$. Это значит, что
$\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, где $\left(x, y \right)\in K$.

Пусть $y=f\left(x \right)$ — неявная функция, определяемая в прямоугольнике $K$ уравнением $F\left(x, y \right)=0$. Возьмём точки $\left(x, y \right)$, $\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)$ $\in G_{F}$ функции $f\left(x \right)$ (график функции $f\left(x \right)$).
Тогда $F\left(x, y \right)=0$, $F\left(x+\Delta x, y+\Delta y \right)=0$.

Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
$F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta x+F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)\Delta y=0$,

$\Delta y=-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}\Delta x$, где $0<\theta <1$.

Из $F_{y}\left(x, y \right)\geq \alpha >0$, $\left|F_{x}\left(x, y \right) \right|<\beta$, $\left(x, y \right)\in K$ получаем:
$\left|\Delta y \right|\leq \frac{\beta }{\alpha }\left|\Delta x \right|$.

Следовательно, $\Delta y\rightarrow 0$ при $\Delta x\rightarrow 0$ и неявная функция $f\left(x \right)$ непрерывна в любой точке $x\in \left[x_{0}-a; x_{0}+a \right]$.

Воспользуемся непрерывностью частных производных, поделим предыдущее равенство на $\Delta x$ и перейдём к пределу при $\Delta x\rightarrow 0$:

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{F_{x}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}{F_{y}\left(x+\theta \Delta x, y+\theta \Delta y \right)}$.

Выполняется условие теоремы:

$f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Следовательно, $f’\left(x \right)$ будет непрерывной на отрезке $\left[ x_{0}-a;x_{0}+a\right]$ как суперпозиция непрерывных функций.

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Найти производную от функции, заданной неявно.
$$ \frac{e^{y}}{3x}=2xy+7$$
$$\left ( \frac{e^{y}}{3x} \right )’=\left ( 2xy+7 \right )’$$
$$\frac{\left ( e^{y} \right )’\cdot 3x-e^{y}\cdot \left ( 3x \right )’}{9x^{2}}=\left ( 2xy \right )’+7’$$
$$\frac{e^{y}\cdot y’\cdot 3x-e^{y}\cdot 3}{9x^{2}}=2y+2x\cdot y’$$
$$e^{y}xy’-e^{y}=6yx^{2}+6x^{3}y’$$
Ответ:
$$y’=\frac{6yx^{2}+e^{y}}{e^{y}x-x^{3}}$$

[свернуть]
Спойлер

Найти производную от функции, заданной неявно.
$$8x^{2}y^{3}-6x=9y-2$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3}-6x \right )’=\left ( 9y-2 \right )’$$
$$\left ( 8x^{2}y^{3} \right )’-6\left ( x \right )’-9\left ( y \right )’+2’=0’$$
$$16xy^{3}+24x^{2}y^{2}y’-6-9y’=0$$
Ответ:
$$y’=\frac{6-16xy^{3}}{24x^{2}y^{2}-9}$$

[свернуть]

Литература

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных