Если функция [latex]y=f\left(x\right)[/latex] имеет производную в точке [latex]x_{0}[/latex], значит [latex]\exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {f}’\left(x\right)[/latex], тогда существует предельное положение секущей к графику функции в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right):[/latex] [latex]y-y_{0}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\left(x-x_{0}\right) \left(x \to x_{0}\right)[/latex] это означает, что в точке [latex]M_{0} \exists l_{0}=k_{0}x + b_{0}[/latex] — касательная к графику функции, причём [latex]k_{0}={f}’\left(x_{0}\right)[/latex].
Таким образом геометрический смысл производной — угловой коэффициент касательной к графику функции [latex]y = f\left(x\right)[/latex] в точке [latex]M_{0}\left(x_{0},{f}\left(x_{0}\right)\right)[/latex], а уравнение касательной [latex]l_{0} ={f}\left(x_{0}\right)+ {f}’\left(x_{0}\right)\left(x — x_{0}\right)[/latex].
Пример:
Найдите уравнение касательной к графику функции [latex]y=e^{2x-3}[/latex] в точке [latex]x_{0} = 5[/latex], а также угол наклона касательной в этой точке.
Решение:
Известно, что уравнение касательной в точке имеет вид [latex]l={f}\left(x_{0}\right)+{f}’\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)[/latex], причём [latex]{f}’\left(x_{0}\right)=\mathrm{tg}\alpha[/latex], где [latex]\alpha[/latex] — угол наклона касательной.
Находим значение касательной в точке 5, получаем [latex]{f}’\left(x\right)=2e^{2x-3}[/latex], а в точке [latex]x_{0}=5: \, {f}’\left(5\right)=2e^{7} \Rightarrow[/latex][latex] l = e^{7}+2e^{7}\left(x-5\right) =[/latex][latex] -9e^{7}+2e^{7}x[/latex], [latex]\alpha = \mathrm{arctg}\left(2e^{7}\right).[/latex]
Список литературы:
Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на знание геометрического смысла производной.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 2
Выберите среди предложенных вариантов тот, который описывает касательную к графику функции [latex]y = \lg {x}[/latex] (десятичный логарифм) в точке 2.
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 3
Найдите угол наклона касательной к графику функции $latex y = \frac{2x^2+3}{3x+4}$ в точке 3.
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 8
Установите соответствие между функциями и касательными к ним в точке \(x_{0}\).
Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем её график.
Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}>[/latex] [latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]
Функция [latex]f(x)[/latex] называется монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>[/latex] [latex] x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]
Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно убывающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})[/latex]
Функция [latex]f(x)[/latex] называется строго монотонно возрастающей на отрезке [latex][a;b][/latex], если [latex]\forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>[/latex][latex]x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})[/latex]
Пример графика монотонно возрастающей функции.
На графике видно, что [latex]\forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\geq f(x_{2})[/latex]
Пример графика монотонно убывающей функции.
На графике видно, что [latex]\forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}[/latex], соответствующие значения функции [latex]f(x_{1})\leq f(x_{2})[/latex]
Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций
Формулировка:
Если функция [latex]f(x)[/latex] определена и монотонна на отрезке [latex][a;b][/latex], то в каждой точке [latex]x_{0}\in (a;b)[/latex] эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] правосторонний и левосторонний пределы.
Доказательство:
Пусть, например, функция [latex]f(x)[/latex] монотонно возрастает на [latex][a;b][/latex]. Выберем произвольную внутреннюю точку [latex]x_{0}\in (a;b][/latex]. Тогда [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow [/latex][latex]f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow[/latex] [latex]f(x)[/latex] ограничена сверху на [latex][a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex]\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0})[/latex].
Согласно определению: а) [latex]\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow[/latex][latex] f(x) \leqslant M[/latex] б) [latex]\forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:[/latex][latex]M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }),[/latex] обозначим [latex]\delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0[/latex].
Если [latex]x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0})[/latex], то [latex]f(x_{\varepsilon })\leq f(x)[/latex]. Итог: [latex]\forall \varepsilon >0\exists \delta>0:[/latex][latex]\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):[/latex][latex]M-\varepsilon <[/latex] [latex]f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<[/latex] [latex] M+\varepsilon \Leftrightarrow[/latex][latex] |f(x)-M|< \varepsilon[/latex]
[latex]\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M[/latex] Итак [latex]f(x_{0}-0)= \sup f(x)[/latex], [latex]a\leqslant x<x_{0} [/latex].
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке [latex]x_{0}\in [a;b)[/latex] предел справа причем [latex]f(x_{0}+0)=\inf f(x)[/latex], [latex]x_{0}<x\leqslant b[/latex]. Следствие. Если функция [latex]f[/latex] определена и монотонна на интервале [latex](a;b)[/latex], [latex]\forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \[/latex] предел справа и слева, причем если [latex]f[/latex] возрастает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex],
если убывает, то
[latex]f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)[/latex] [latex] \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=[/latex][latex]f(x_{0}+0)[/latex].
Литература
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
Вартанян Г. М. Конспект лекций по математическому анализу.
Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.
Теорема о единственности предела
Формулировка:
Если функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
Докажем методом от противного. Предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b[/latex], [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c[/latex], [latex]b \neq c[/latex]. Возьмём [latex]\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}[/latex], по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая
[latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]a[/latex] ([latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]), в которой одновременно будут выполнятся неравенства [latex]|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}[/latex], [latex]|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}[/latex] , тогда в точках этой же окрестности [latex]|b-c|=[/latex][latex]|(b-f(x))+[/latex][latex](f(x)-c)| \leq[/latex][latex] |f(x)-b|+[/latex][latex]|f(x)-c|<[/latex][latex] \frac{|b-c|}{2}+[/latex][latex]\frac{|b-c|}{2}=[/latex][latex]|b-c|.[/latex] Получили противоречие [latex]|b-c| < |b-c|[/latex]. Отсюда, функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет единственный предел.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел
Формулировка:
Если предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] равняется [latex]A[/latex], то найдётся окрестность точки [latex]a[/latex], во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена.
Доказательство:
Из определения предела по Коши получим: [latex]\forall \varepsilon >0[/latex] [latex] \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:[/latex][latex]\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex] Возьмём [latex]\varepsilon =1[/latex]. Из условия теоремы следует существование окрестности [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]. Следовательно, [latex]|f(x)-A|<1[/latex]. Перепишем это следующим образом:[latex]A-1<f(x)<A+1[/latex]. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции [latex]f(x)[/latex].
Литература
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
максимум из 17 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 5
Если предел функции $$ f(x) $$ при $$ x\rightarrow a $$ равняется $$ A, $$ то найдётся окрестность точки $$ a, $$ во всех точках которой функция $$ f(x) $$
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 5
Последовательность действий при доказательстве теоремы о единственности предела.
Предположим, что
$$ \lim_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c $$
Возьмём
$$ \varepsilon = \frac{|b-c|}{2} $$
Тогда будут выполняться неравенства:
$$ |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} $$
Тогда
$$ |b-c| = |(b-f(x))+(f(x)-c)|\leq$$ $$ \leq|f(x)-b|+|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=$$ $$=|b-c| $$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 7
Если существует некоторая окрестность точки [latex]a,[/latex] во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена, обязательно ли существует предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x \rightarrow a [/latex] и притом конечный?
Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$.
Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$-окрестность точки $a$, что для любого $x$ из этой $\delta$-окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$-окрестности точки $A$.
Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$. Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$. Тем не менее, предел может быть равен $A$.
Определение 1.1. (определение по Коши или на языке [latex]\varepsilon — \delta[/latex]):
[latex]A[/latex] — предел функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] (и пишут \(\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A\)), если: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon[/latex] В определении допускается, что [latex]x \neq a[/latex], то есть [latex]a[/latex] может не принадлежать области определения функции.
Определение 1.2. (определение по Гейне):
[latex]A[/latex] называется пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex], если [latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a[/latex], [latex]x_n\ne a[/latex] то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], соответствующая последовательность значений [latex]{f(x_{n})} \rightarrow A[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].
Замечание 1.1.
Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.
Замечание 1.2.
Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.
Замечание 1.3.
[latex]\forall x:0<|x-a|<\delta[/latex]
Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка [latex]x[/latex] принадлежит проколотой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex]([latex]x\in \dot{U_{\delta }}(a)[/latex])
2. Эквивалентность определений
Пусть число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность [latex]x_{n}[/latex] , [latex]n \in N[/latex], то есть такую, для которой [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex]. Покажем, что [latex]A[/latex] является пределом по Гейне.
Зададим произвольное [latex]\varepsilon > 0[/latex] и укажем для него такое [latex]\delta > 0[/latex], что для всех [latex]x[/latex] из условия [latex]0 < |x-a| < \delta[/latex] следует неравенство [latex]|f(x)-A | < \varepsilon[/latex]. В силу того, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], для [latex]\delta > 0[/latex] найдётся такой номер [latex]n_{\delta }\in N[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\delta }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]|f(x_{n})-A| < \varepsilon[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].
Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A[/latex] по Гейне, и покажем, что число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon[/latex]. В качестве [latex]\delta[/latex] рассмотрим [latex]\delta = \frac{1}{n}[/latex], а соответствующие значения [latex]x_{\delta }[/latex] будем обозначать [latex]x_{n}[/latex]. Тогда при любом [latex]n\in N[/latex] выполняются условия [latex]|x_{n}-a|<\frac{1}{n}[/latex] и [latex]|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon[/latex]. Отсюда следует, что последовательность является подходящей, но число [latex]A[/latex] не является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex]. Получили противоречие.
![grafik2](http://ib.mazurok.com/wp-content/uploads/2014/05/svg56.svg")
