Рубрика: Разное

Различные не классифицированные материалы

М1761. Ящики фокусника

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск)

Условие

У фокусника [latex]100[/latex] карточек, занумерованных числами от [latex]1[/latex] до [latex]100.[/latex] Он раскладывает все карточки в три ящика – красный, белый и синий – так, чтобы в каждом ящике лежала хотя бы одна карточка. Один из зрителей выбирает два из трех ящиков, вынимает из них по одной карточке и объявляет сумму номеров вынутых карточек. Зная эту сумму, фокусник определяет тот ящик, из которого карточки не вынимались. Сколькими различными способами можно разложить карточки по ящикам так, чтобы этот фокус всегда удавался?
(Способы, при которых хотя бы одна карточка попадает в разные ящики, считаются различными.)

Ответ: [latex]12.[/latex]

Решение

Пусть карточка [latex]1[/latex] (или число [latex]1[/latex]) лежит в красном ящике
(сокращенно КЯ), а карточка с наименьшим числом [latex]k,[/latex] не лежащая в КЯ, лежит в белом ящике (БЯ). Тогда [latex]k-1[/latex] находится в КЯ.
По условию, в синем ящике (СЯ) есть хотя бы одна карточка; пусть [latex]n[/latex] – наименьшее число (т.е. карточка с наименьшим числом) в СЯ [latex]\to [/latex] [latex]n > k.[/latex] Если [latex]n-1[/latex] лежит в КЯ, то зритель может вытащить либо [latex]n-1[/latex] и [latex]k[/latex] из КЯ и
БЯ, либо [latex]n[/latex] и [latex]k-1[/latex] из СЯ и КЯ. Суммы чисел на карточках одинаковы, значит, в этом случае фокус не удастся.
Следовательно, [latex]n-1[/latex] находится в БЯ. Предположим, что карточка [latex]2[/latex] лежит в КЯ. Тогда взяв либо [latex]2[/latex] и [latex]n-1[/latex] из КЯ и БЯ, либо [latex]1[/latex] и [latex]n[/latex] из КЯ и СЯ, получим одинаковые суммы, значит, [latex]k=2[/latex] и [latex]2[/latex] находится в БЯ.
Рассмотрим два случая.

  1. В КЯ нет других карточек, кроме [latex]1.[/latex] Покажем, что тогда [latex]n=100.[/latex] Пусть [latex]n<100.[/latex] Тогда [latex]n+1[/latex] лежит либо в БЯ, либо в СЯ. Пары карточек [latex](1, n+1)[/latex] и [latex](2, n)[/latex] с одинаковой суммой находятся в (КЯ, БЯ (СЯ)) и в (БЯ, СЯ) – фокус не удался. Значит,[latex]n=100 ,[/latex] т.е. в СЯ только одна карточка [latex]100,[/latex] в КЯ – одна карточка [latex]1,[/latex] в БЯ – карточки [latex]2, 3, \ldots , 99 .[/latex] Покажем, что в этом случае фокус всегда удается: если мы берем карточки из БЯ и КЯ, то получаем суммы [latex]3, 4, \cdots ,100 ,[/latex] если из КЯ и СЯ – сумму [latex]101,[/latex] если из БЯ и СЯ – суммы [latex]102, 103, \cdots , 199,[/latex] т.е. суммы различны.
  2. В КЯ есть другие числа, и [latex]m[/latex] – наименьшее из них. Тогда [latex]m > 2 ,[/latex] значит, [latex]m-1[/latex]не лежит в КЯ. Если [latex]m-1[/latex] находятся в БЯ, то для пар [latex](m-1, n) ,[/latex] из БЯ и СЯ и [latex](n-1, m) ,[/latex] из БЯ и СЯ фокус не удастся. Значит, [latex]m-1[/latex] лежит в СЯ.

Лемма 1

Если в двух различных ящиках лежат карточки
[latex]x[/latex] и [latex]x+1[/latex], а в третьем [latex]y[/latex] и [latex]y+1,[/latex] то фокус не удастся.

Одинаковые суммы имеют пары [latex](x, y + 1)[/latex] и [latex](x+1, y)[/latex], из разных пар ящиков.

Лемма 2

Если в одном ящике лежат карточки [latex]x[/latex] и [latex]y,[/latex] а в
двух других [latex]x+1[/latex] и [latex]y+1[/latex] соответственно, то фокус не удастся.

Доказательство дословно повторяет доказательство леммы [latex]1.[/latex]

Выше мы показали, что для каждой пары ящиков есть карточки с двумя последовательными числами, а именно
КЯ, БЯ : [latex]1,2,[/latex]
БЯ, СЯ : [latex]n-1, n,[/latex]
СЯ, БЯ : [latex]m — 1, m.[/latex]
Значит, по лемме [latex]1[/latex] ни в одном из ящиков нет карточек с двумя последовательными числами.
Далее, полагая, что [latex]y = 1,[/latex] если [latex]x[/latex] лежит в КЯ и [latex]x + 1[/latex] – в
СЯ, и [latex]y = n — 1,[/latex] если [latex]x[/latex] находится в БЯ и [latex]x + 1[/latex] – в КЯ,
по лемме [latex]2[/latex] получаем, что в этих случаях фокус не удастся.
Аналогично фокус не удастся, если [latex]x[/latex] лежит в СЯ, а [latex]x + 1[/latex] в БЯ. Итак, если а находится в КЯ, то [latex]a + 1[/latex] – в БЯ, [latex]a + 2[/latex] – в СЯ, [latex]a + 3[/latex] – в БЯ и т.д. Значит, в КЯ находятся числа, сравнимые с [latex]1[/latex] по модулю [latex]3[/latex], в БЯ – сравнимые с [latex]2,[/latex] в СЯ – делящиеся на [latex]3.[/latex] Покажем, что такое расположение карточек подходит: сумма чисел на карточках из КЯ и БЯ делится на [latex]3,[/latex] из КЯ и СЯ сравнима с [latex]1[/latex] по модулю 3, из СЯ и БЯ – с [latex]2,[/latex] т.е. всегда можно определить, из каких ящиков взяты карточки.
Мы получили, что если карточка [latex]1[/latex] лежит в КЯ, а карточка с наименьшим числом не из КЯ находится в БЯ, то есть два варианта раскладывания карточек. Аналогично рассуждаем в случае других пяти пар ящиков. Значит, всего имеется [latex]2 \times 3 \times 2 = 12[/latex] различных способов.

Н. Агаханов, А. Гайфуллин

Интеграл Эйлера-Пуассона

Перед прочтением статьи, ознакомьтесь со следующим материалом:

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру — Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа, стр 620-621

Интеграл Эйлера-Пуассона

Интегралом Эйлера-Пуассона (Euler-Poisson integral) или интегралом вероятностей называют интеграл вида $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$$

Вычислим значение интеграла пользуясь теоремой о перестановка порядка интегрирования

$$I=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-t^2}dt= \left[ \begin{gathered} t=xy \\ dt=ydx \end{gathered} \right] =\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^{2}y^2}dx.$$

Обе части неравенства домножим на $e^{-y^2}$ и проинтегрируем по $y$ от $0$ до $+\infty$

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-y^2} \left( \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^2 y^2}dx \right) dy=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx.$$

Изменение порядка интегрирования интеграла $\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ законно, так как выполняются все условия теоремы. Используя признак Вейерштрасса можно заключить, что интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[\gamma, \delta] \subset [0,+\infty]$, так как $ye^{-y^2(x^2+1)} \le \delta e^{- \gamma^2(1+x^2)} (y \ge 0)$, а интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}\delta e^{- \gamma^2(1+x^2)}dx$ сходится. Аналогично доказывается, что интеграл $\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dy$ также сходится равномерно по параметру $x$ на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset [0,+\infty]$. Повторный интеграл $I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx$ сходится в силу равенства

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-y^2}(\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-x^2 y^2}dx)dy=\int\limits_{0}^{+\infty}dy \int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dx.$$

Изменим порядок интегрирования повторного интеграла

$$I^2=\int\limits_{0}^{+\infty}dx\int\limits_{0}^{+\infty}ye^{-y^2(x^2+1)}dy=\int\limits_{0}^{+\infty}y\frac{e^{-x^2}}{-2y(x^2+1)}\bigg|_0^{+\infty}dx= $$

$$-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}(0-\frac{1}{(x^2 +1)})dx= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}= \frac{1}{2} \arctan x\bigg|_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}.$$

Отсюда получаем, что $I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

Таким образом интеграл Эйлера-Пуассона $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2},$$
то есть площадь фигуры, ограниченной функцией $e^{-x^2}$ и осями координат, равна $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ (рис. 1)

Интеграл Эйлера-Пуассона

Рис. 1

Список литературы

Тест

Интеграл Эйлера-Пуассона

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] функций [latex]s_{1}(x), s_{2}(x),…s_{n}(x),…[/latex] сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции [latex]S(x)[/latex], то при любых [latex]a\leq \alpha \leq \beta \leq b[/latex] $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция [latex]S(x)[/latex] является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции [latex]S(x)[/latex] по любому [latex]\varepsilon < 0[/latex] найдется такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] для любого [latex]a\leq x\leq b[/latex] будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному [latex]\varepsilon < 0[/latex] нашлось такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд [latex]u_{1}(x) + u_{2}(x) + … + u_{n}(x) +…[/latex] сходиться равномерно на некотором сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex], и имеет суммой функцию [latex]S(x)[/latex], то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть [latex]S_{n}(x) — n[/latex]-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, [latex]n[/latex]-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность [latex]S_{1}(x), S_{2}(x),…S_{n}(x),…[/latex] частичных сумм ряда сходиться на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция [latex]f_n(x)[/latex] имеет производную на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], а сама последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться хотя бы в одной точке [latex]x_{0}[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex],то последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться к некоторой предельной функции [latex]f_n(x)[/latex] равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] почленно, т.е. всюду на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] предельная функция имеет производную [latex]f'(x)[/latex] являющуюся предельной функцией последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex]

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходится равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex]. Из сходимости числовой последовательности [latex]\left\{ f_n(x_{0})\right\}[/latex] и из равномерной сходимости [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] следует, что для любого [latex]\varepsilon>0[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех [latex]n\geq N(\varepsilon)[/latex], всех натуральных [latex]p[/latex] и для всех [latex]x[/latex] из сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] Так как для функции [latex]\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right][/latex] при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] выполнены на сегменте, ограниченном точками [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] все условия теоремы Лагранжа, то между [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] найдется такая точка [latex]\varepsilon[/latex] такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] к некоторой предельной функции [latex]f(x)[/latex]

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] и по ней [latex]\delta>0[/latex] такое, что бы [latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]x[/latex] целиком содержалась в [latex]\left[a,b\right][/latex]

Обозначим символом [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex] множество всех чисел [latex]\Delta x[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0 < \left | \Delta x \right | < \delta[/latex], при [latex]a < x < b[/latex], условию [latex]0 < \Delta x < \delta[/latex] при [latex]x=a[/latex] и условию [latex] -\delta <\Delta x < 0 [/latex] при [latex]x=b[/latex] и докажем, что последовательность функций аргумента [latex]\Delta x[/latex] $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]

Для произвольного [latex]\varepsilon>0[/latex] в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное [latex]\Delta x[/latex] из множества [latex]\left
\{ \Delta x \right \}[/latex] и при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками [latex]x[/latex] и [latex]\left ( x+\Delta x \right )[/latex], теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число [latex]\Theta[/latex] из интервала [latex]0 < \Theta < 1[/latex] такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность [latex]\left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \}[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке [latex]\Delta x = 0[/latex]. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке [latex]\Delta x = 0[/latex], причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex] существует и равна [latex]\lim_{n \rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Теорема доказана.

    Список литературы:

  • В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа»
  • Функциональный ряд на момент 17.06.2016

    • маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций. Предположим, что в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] числовая последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}[/latex] сходится, а функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходная последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex] к непрерывно дифференцируемой функции [latex]f[/latex], причем для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex].

Доказательство

Спойлер

Обозначим [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция [latex]\varphi[/latex] непрерывна на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Положим [latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt[/latex]. Применим на отрезке с концами [latex]x_{0}[/latex] и [latex]x[/latex]теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности [latex]\left \{ f’_{n}(t) \right \}[/latex]. Тогда получим
[latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex]
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})[/latex]. Тогда из равенства [latex]g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex] следует, что существует и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex], т.е. мы показали, что последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex] и получим, что [latex]g(x)=f(x)-f(x_{0})[/latex], а так как функция [latex]g[/latex] дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции [latex]\varphi[/latex]) и [latex]g'(x)=\varphi (x)[/latex](в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция [latex]f[/latex] также дифференцируема и [latex]f'(x)=\varphi (x)[/latex], т.е. функция [latex]f[/latex] имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Осталось показать, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Имеем
[latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |[/latex].
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших [latex]n[/latex], а первое оцениваем так:
[latex]\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt[/latex].
Теперь остается учесть, что последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]\varphi[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex], и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex], такая, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex], а ряд из производных [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство [latex]\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])[/latex].

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex].

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность дифференцируемых функций [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], сходящаяся в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] и такова, что функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] к некоторой функции [latex]f[/latex], причем эта функция [latex]f[/latex] дифференцируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

Спойлер

Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex]. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex], существует такой номер [latex]N[/latex], что для всех [latex]n, m\geq N[/latex] и для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим [latex]\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)[/latex]. Тогда [latex]\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon[/latex] и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex]. Далее, для [latex]n,m\geq N[/latex] имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим [latex]n\rightarrow \infty [/latex] и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем [latex]m\geq N[/latex] и найдем такое [latex]\delta >0[/latex], что для всех [latex]h[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0< \left | h \right |< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве [latex]\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon [/latex] ([latex]n, m\geq N[/latex]) перейдем к пределу при [latex]n\rightarrow \infty [/latex] (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)[/latex]. Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .

[свернуть]

Литература

  1. В. И. Коляда, А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» часть 2 стр. 42-51
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 2 стр. 90-100
  3. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. «Курс математического анализа» стр. 422 – 425
  4. Демидович Б. П. 1997 г. стр. 269-280

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»