Пусть [latex]f_{n}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, поточечно сходящаяся к функции [latex]f[/latex]. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] предельной функции [latex]f[/latex] и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.
Пример 1
Пусть [latex]\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }[/latex] — последовательность всех рациональных точек из отрезка [latex]\left[0;1\right][/latex]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция [latex]f_{n}[/latex] интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва [latex]\left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}[/latex]. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.
Замечание (для рядов)
Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой.
Действительно, положим [latex]u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)[/latex], [latex]u_{1}(x)=f_{1}(x)[/latex], [latex]u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x)[/latex].
Частичные суммы ряда [latex]s_{n}(x)=f_{n}(x)[/latex]. И [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x)[/latex].
Пример 2
Положим [latex]f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n[/latex], а на отрезках [latex]\left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right][/latex] функция [latex]f_{n}[/latex] — линейна. Мы видим, что [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right][/latex], так что предельная функция [latex]f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right])[/latex] интегрируема и [latex]\int_{0}^{1}f(x)dx=0[/latex]. С другой стороны, очевидно, что [latex]\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}[/latex], поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.
Замечание (для рядов)
Пример 2 позволяет построить ряд из интегрируемых функций такой, что предельная функция интегрирума, но равенство не выполняется.
Вывод (для рядов)
Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.
Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)
Пусть последовательность [latex] \left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] из непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right ][/latex] функций, равномерно сходится к [latex]f(x)[/latex] на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Доказательство
По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N[/latex] и [latex]\forall x\in \left [ a, b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}[/latex]. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех [latex]n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon [/latex]
Теорема доказана.
Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)
Пусть [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций такова, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
Доказательство
Действительно, функции [latex]f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)[/latex] непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций [latex]u_{k}[/latex], и последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда, по предыдущей теореме, $$\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$$
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.
Теорема
Пусть [latex]\left\{f_{n}\right\}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции [latex]f[/latex]. Тогда предельная функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$
Доказательство
Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что [latex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на [latex]\left[a;b\right][/latex] функции [latex]f[/latex]. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] тогда и только тогда, когда [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod[/latex] — разбиения отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex], диаметр которого [latex]d\left ( \prod \right )< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где [latex]\omega _{i}(f)[/latex] — колебания функции [latex]f[/latex] частичных отрезках [latex]\left[x_{i};x_{i+1}\right][/latex]. Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex] и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], найдем такое N, что [latex]\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon [/latex]. Если [latex]\forall n\geq N[/latex], то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении [latex]\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon [/latex], так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости [latex]f_{n}[/latex], т.е. [latex]\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta [/latex], первое слагаемое справа будет меньшим, чем [latex]\varepsilon [/latex]. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex].
Литература
Тесты
равномерная сходимость и интегрирование
Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»
