Обращение матриц

Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица [latex]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex]. Обратную матрицу можно вычислить по формуле [latex]A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T},[/latex] где [latex]A^{T}[/latex] — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. [latex]\det A=[/latex][latex]0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3[/latex][latex]+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3[/latex][latex]-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4.[/latex] Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на [latex]-1[/latex] в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
[latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
[latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
[latex]A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
[latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8[/latex]
[latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9[/latex]
[latex]A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3[/latex]
[latex]A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
[latex]A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6[/latex]
[latex]A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
Матрица алгебраических дополнений [latex]A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, [latex]A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Теперь найдем обратную матрицу [latex]A^{-1}=[/latex][latex]\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей [latex]A[/latex], выполняя действия по привидению матрицы [latex]A[/latex] к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex] и прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Поменяем первую и третью строки местами.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Первую строку умножим на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]
Поделим третью строку на четыре.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-2[/latex] и прибавим к первой.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим третью строку на [latex]-1[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex].
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку умножим на [latex]-4[/latex] и прибавим к первой.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Полученная матрица является обратной.
Литература

Обращение матриц

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Обращение матриц

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Найдите обратную матрицу
   
   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

   • $$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/4 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   Найдите обратную матрицу
   
   $$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}$$

   • $$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \\ \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$$
   • $$\begin{pmatrix} -7 & 4 \\ -5 & 3 \\ \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Пусть $G\ne \varnothing$, $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

• 1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$$a*(b*c).$
• 2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$$e*a=a.$
• 3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$$ a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

Примеры

• 1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
• 2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
• 3.) $ (\mathbb C_{[-1;1]}, +) $ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
• 4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$$(a+c, b+d).$
• 5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $ C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$

Простейшие следствия из аксиом

• 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$, но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}. $

• 2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$$ a^{‘}a=aa^{‘}=e,$$ a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow $$a^{‘}=a^{»} $

• 3. $a*x=b,(x*b=a)$, решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

$x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$$ (a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$, $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

Существование.

$x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$$(aa^{‘})b=eb=b$

• 4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
$a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$.

• 5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

Доказательство.
$(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$, $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$$(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow $$ (bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$$ (ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

• 6. $\forall n\in \mathbb N$$ a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

Доказательство.

База индукции.

$a^{1}=a$.

Предположение индукции.

Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

Шаг индукции.

Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$.

• 7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

Доказательство.

$a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

$a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$, $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

• 8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

Доказательство.

$(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}} $

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$, $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

• 9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

Доказательство.

$a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$$\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
Литература

• Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии.
• Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 23-27.
• Курс высшей алгебры. Курош. А. Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968 год, стр. 395-396.
• http://timinva.narod.ru/m0312.htm#_Toc321326178

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Заполните пропуск.

   • Если, кроме трёх аксиом группы выполняется условие (коммутативности, коммутативность, Коммутативность, Коммутативности), то такая группа называется абелева
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   
   Какие следующие множества являются группами.

   • $$(\mathbb Z, +)$$
   • $$(\mathbb R^{2}, +)$$
   • $$(\mathbb C_{ [ -1;1] }, +)$$
   • $$(\mathbb N, \cdot)$$
   • $$(\mathbb Z, \cdot)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Бинарной алгебраической операцией (БАО), действующей на множестве $A$ называется отображение:

$*:A^2\rightarrow A$.

Примеры

1. Операции $+$ и $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$.
2. В качестве множества $A$ в условиях вышеуказанного определения возьмём множество $\mathbb{Z}$, и определим $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=}(a+b)^2$. Тогда операция $*$ является бинарной алгебраической операцией.
3. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}$ не является БАО, т.к. нельзя делить на ноль. Но она является БАО на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
4. Операция $*$, заданная на $\mathbb{Z}$ следующим образом —  $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b=a^b$ — не является алгебраичной, т.к. результат $1*(-3)=1^{-3} \notin \mathbb{Z}$.

Проверка на алгебраичность

Для того, чтобы проверить, является ли данное отображение бинарной алгебраической операцией, достаточно проверить три условия:

1. Всюдуопределённость: $\forall a,b \in A\: \exists c = a*b$.
2. Однозначность: $\forall a,b \in A\: \exists ! c = a*b$.
3. Замкнутость: $\forall a,b \in A\: a*b = c \in A$.

Пример

Проверить, является ли отношение бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}$, если $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=} a\cdot b (\mod 6)$ (умножение по модулю 6).

Так как множество, на котором задано отношение, конечно, мы можем построить таблицу Кэлли (таблицу значений).

Расположим по вертикали и горизонтали элементы множества $\mathbb{Z}_6$, а на их пересечении — результат операции $*$. Получим таблицу:

Исходя из таблицы, видно, что область значения операции совпадает с исходным множеством $\mathbb{Z}_6$ (выполняется замкнутость), в каждой клетке только один результирующий элемент (выполняется однозначность), и каждая клетка непустая (выполняется всюдуопредлённость).

Следовательно, указанное отображение $*$ является бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6$.

Свойства БАО

Бинарная алгебраическая операция может обладать такими свойствами:

1. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется ассоциативной, если $\forall a_1, a_2, a_3 \in A\: (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
2. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется коммутативной, если $\forall a_1, a_2 \in A\: a_1*a_2 = a_2*a_1$.

Примеры

1. Операции $+$, $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{N}$ являются коммутативными и ассоциативными.
2. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ не является коммутативной.

Пример решения №1

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset{def}{=} a(b+1)$

Очевидно, что $a(b+1) \ne b(a+1)$, следовательно, операция $*$ коммутативной не является. Проверим ассоциативность (фиксируя \forall a,b,c \in \mathbb{Z}):

$a*(b*c)=a*(b(c+1))=a(b(c+1)+1)=abc+ab+a$

В свою очередь,

$(a*b)*c=(a(b+1))*c=a(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+a$.

Видим, что $a*(b*c) \ne (a*b)*c$. Таким образом делаем вывод, что операция $*$ не ассоциативна.

Пример решения №2

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}^2$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2) \in \mathbb{Z}^2 \: (a_1, a_2) * (b_1, b_2) \overset{def}{=} (a_1 b_1, a_2 b_1 + b_2)$

Рассмотрим при $\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2) \in \mathbb{Z}^2$:

$((a_1, a_2) * (b_1, b_2)) * (c_1, c_2) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

$(a_1, a_2) * ((b_1, b_2) * (c_1, c_2)) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

Исходя из этого, сделаем вывод, что операция $*$ является ассоциативной. Из вида операции, представленного в условии, очевидно, что $*$ не является коммутативной.

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. А. Я. Овсянников —  Алгебраические операции (темы 1-4). Екатеринбург, Уральский федеральный университет.
3. Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 9-13).

Бинарная алгебраическая операция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Алгебраическая операция. Исследование свойств операции».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

• Спасибо за прохождение теста, хорошего дня!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какие три условия являются необходимыми для бинарной алгебраической операции?

   • всюдуопределённость, замкнутость, обратимость
   • однозначность, замкнутость, наличие нейтрального элемента
   • замкнутость, однозначность, всюдуопределённость
   • замкнутость, обратимость, наличие нейтрального элемента
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Является ли следующая операция бинарной алгебраической операцией? Если нет, то почему?
   $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset {def}{=} a^b$

   • Да.
   • Нет, т.к. не выполняется условие замкнутости.
   • Нет, т.к. не выполняется условие всюдуопределённости.
   • Нет, т.к. не выполняется условие однозначности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Как нужно изменить множество, чтобы операция была алгебраичной?
   $\forall a, b \in \mathbb{R}^+ \: a*b \overset {def} {=} a^2 \{b\}$

   • $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$
   • $\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{R}^-$
   • $\mathbb{R}^+ \cup \{-1\}$
   • $\mathbb{R}^+ \cap \{0\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Почему данная операция не является алгебраичной? Что нужно сделать, чтобы это исправить?
   $\forall a,b \in \mathbb{R}^+ \: a*b \overset{def}{=} a+b-2 \sqrt{ab} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2$

   • Не выполняется всюдуопределённость. Изменить сам вид операции.
   • Не выполняется замкнутость. Изменить множество на $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$.
   • Не выполняется однозначность. Заменить множество на $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$.
   • Не выполняется замкнутость. Заменить множество на $\mathbb{Z}^+$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Поставьте в соответствие каждой операции набор её свойств.

   Элементы сортировки

   • Выполняется ассоциативность и коммутативность.
   • Не выполняется ни ассоциативность, ни коммутативность.
   • Выполняется ассоциативность, не выполняется коммутативность.
   • Не выполняется ассоциативность, но выполняется коммутативность.

   • $\forall m,z \in \mathbb {Z} \: m*n \overset {def}{=} m+n+1$

   • Операция $\backslash$ на мн-ве $\mathbb{Z}^+ \backslash \{0\}$

   • $\forall A, B \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) \: A*B = A \times B$

   • Среднее арифметическое двух положительных вещественных чисел.

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Вставьте пропущенный термин.

   • (Коммутативность) — свойство бинарной алгебраической операции, которое позволяет менять местами аргументы без изменения значения операции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$ A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$ A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $  A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $  \mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$

Примеры

1. Положим $ A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $  A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $  B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $  A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
3. Возьмём $  A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $  A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
5. Спойлер

   
   Множество точек некой функции $f(x)$ можно отождествить как подмножество множества $\mathbb{R}^2$: $F = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f(x) = y\}$

   [свернуть]
6. Спойлер

   
   Множество клеток игрового поля «Морского боя» можно представить в виде декартова произведения множеств $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, B =\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$

   [свернуть]

Сферы использования

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какая из представленных записей является правильной записью определения декартова произведения множеств?

   • $A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$
   • $A\times B = \{(x,y)|x \cdot y \in A \cap B\}$
   • $A\times B = \{(y,x)|x \in A, y \in B \}$
   • Никакая из представленных.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите два правильно построенных декартова произведения.

   • $A=\{0, 1\}, B=\{a, b\}, A\times B = \{(0,a), (0, b), (1, a),$ $(1, b)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (2, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta) \}$
   • $A=\{f, g\} B = \{f\}, A\times B = \{(f, f), (f, g), (g, f), (g, g)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha) \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Выберите правильное утверждение.
   $A,B,C$ — произвольные непустые множества.

   • $A^{np} \ne (A^n)^p$
   • $A\times B = B \times A$
   • $(A\times B) \times C = A \times (B \times C)$
   • $|A\times B| = |A| + |B|$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Выберите те пары, которые принадлежат произведению $A\times B$, где $A=\{x \in \mathbb{N} | 1 \le x \le 10\}$, а $B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 > 9\}$

   • $(3, 3.101), (9, 4), (1, -4)$
   • $(8, -7), (5, 14), (2, -12)$
   • $(4, -7), (5, -2.84), (7, -14)$
   • $(11, -7), (3, 9), (1, -17)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Запишите хотя бы одну пару, принадлежащую $A\times B$.
   Пример ввода: (2,3)
   $A = \{0, 3\}, B = \{-1, 1\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Отсортируйте произведения по количеству элементов в результирующих множествах (от большего к меньшему).

   • $A\times B$, причём $A = \mathbb{N}$, а $B = \{-3, 3, 18\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 9, 33\}$, а $B = \{-0.35, -0.45, -0.55\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{9, 81\}$, а $B = \{7, 49\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 2\}$, а $B = \{ \oplus \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть $A$ и $B$ два конечных множества. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $A\times B,$состоящее из всех упорядоченных пар, где $ a\in A, b\in B. $

Бинарным отношением между элементами множества $A$ и $B$ называется любое подмножество $R$ множества $A\times B$, то есть $ R\subset A\times B.$

По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $\langle x,y \rangle $ является элементом R, т.е. $\langle x,y \rangle\in R. $

Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $ xRy\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in R.$

Если $R\subset A\times A $, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.

Примеры бинарных отношений:

• на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
• на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
• на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».

Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $y$.
Область определения бинарного отношения будем обозначать $ \Re R$.
$\Re R=\{ x|\exists y(\langle x,y\rangle\in R)\}$
Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $\langle x,y \rangle\in R $ хотя бы для одного $x$.
Область значений бинарного отношения будем обозначать $\Im R$
$\Im R=\{ y|\exists x(\langle x,y\rangle\in R)\}$

Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\langle y,x\rangle\in R\}$ и обозначается, как ${R}^{-1}.$

Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество $\{\langle x,y\rangle |\exists z\langle xSz\wedge zRy\rangle\}$ и обозначается, как $R\circ S$.

Свойства бинарных отношений

Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:

• Рефлексивность: $\forall x\in M(xRx)$
• Антирефлексивность (иррефлексивность): $\forall x\in M\neg (xRx)$
• Корефлексивность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow x=y)$
• Симметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow yRx)$
• Антисимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$
• Асимметричность: $\forall x,y\in M(xRy\Rightarrow\neg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
• Транзитивность: $\forall x,y,z\in M(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$
• Связность: $\forall x,y\in M(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$

Виды отношений

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
• Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка

Операции над отношениями

Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.

• Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $A\cap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).

  Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
  $ xAy\Leftrightarrow x\geq y, xBy\Leftrightarrow x\neq y$, тогда $A\cap B\Leftrightarrow x>y $

• Объединение. Объединением двух бинарных отношений ($A$ и $B$) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение $A\cup B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений ($xAy$ или $xBy$).

  Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».

• Включение. Обозначается $A\subseteq B$. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если $A\subseteq B$, то $A\neq B$. Если $A\subseteq B$, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение $A$, связаны этим отношением, они связаны отношением $B$.

Очевидно, для любого отношения $A \varnothing\subseteq A\subseteq U$, где $\varnothing$ — пустое, а $U$- полное отношение.

Графическое представление бинарных отношений

Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = \{a, b, c, d, e\}.$
Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R=\{(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)\}.$


Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $\langle x,y\rangle $ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.


Задача

Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A=\{1,2,3,4\}$, определить его свойства.
$R=\{(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)\}$


Спойлер
Проверим все свойства отношения:
• Рефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=3$, пара $\langle 3,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным.
• Антирефлексивность
  $(\forall x\in A)\langle x,x\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1$, пара $\langle 1,1\rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Корефлексивность
  $(\forall x,y\in A)\langle x,y\rangle\notin R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, но $x\neq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным.
• Симметричность
  $ \forall x,y\in A (\langle x,y\rangle\in R): \langle y,x\rangle\in R$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 2,1\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным.
• Антисимметричность
  $\forall x,y\in A(xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
  Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.
• Асимметричность
  Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.
• Транзитивность
  $\forall x,y,z\in A(xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
  Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $\langle 1,2\rangle$ принадлежит множеству R и пара $\langle 2,3\rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $\langle 1,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным.
• Связность
  $\forall x,y\in A(x\neq y\Rightarrow xRy\lor yRx)$ – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3\neq 4$ пара $\langle 3,4\rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $\langle 4,3\rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным.
Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.
[свернуть]

Источники:

• Галушкина, Марьямов, «Задачи и упражнения по дискретной математике», 2007 г., стр.51
• С.В.Федоровский.Конспект лекций по математической логике
• Кострикин А.В. , «Введение в алгебру», 1977, стр.134
• А.И. Мальцев, «Алгебраические системы», 1970, стр.16-19

Бинарные отношения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Вопросы для закрепления пройденного материала

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Пусть [latex]A={1}[/latex].Запишите хотя бы один элемент декартового произведения [latex]A\times A[/latex] как пару чисел, разделённых запятой. Например: [latex]8,9.[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Бинарное отношение [latex]xRy\leftrightarrow x^2=y^2[/latex] определено на множестве действительных чисел [latex]R[/latex]. Какими свойствами из приведенных ниже оно обладает?

   • Рефлексивность
   • Антирефлексивность
   • Симметричность
   • Антисимметричность
   • Связность
   • Транзитивность
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Для бинарного отношения [latex]R[/latex] множество, состоящее из таких [latex]x[/latex], для которых [latex]\langle x,y\rangle\in R[/latex] хотя бы для одного [latex]y[/latex] называется

   • (областью определения)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Таблица лучших: Бинарные отношения

максимум из 15 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных