Метка: вторая теорема Вейерштрасса

12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на $\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида
$$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j}, $$
где $a_{ij}$ — действительные числа. Матрица $\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right). $$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Определение Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех $x^{1},x^{2}$ кроме $x^{1}=x^{2}=0$, имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.
Пример 2. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем $Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1, $ так что эта форма неопределенная.
Пример 3. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых $x^{1},x^{2}$ имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке $x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида $x^{1}=x^{2}$.
Пример 4. Форма $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.
Пример 5. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где $m \lt n$. Эта форма положительно полуопределенная, поскольку $Q(h) \geqslant 0 $, но при $i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе $e_{i}$ равно нулю.
Пример 6. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где $m \lt n$. Тогда эта форма неопределенная, поскольку $Q(e_{i})=1$ при $i\leqslant m$ и $Q(e_{i})=-1,$ если $i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $$|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть $Q$ — положительно определенная квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$. Тогда существует такое положительное число $\lambda ,$ что $$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}). $$
Обозначим через $S$ единичную сферу в $\mathbb{R}^{n},$ т.е. $$ S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$$Легко видеть, что $S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция $Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через $\lambda.$ Но на $S$ форма $Q$ принимает положительные значения, так что $\lambda \gt 0.$
Итак, $Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь $h$ — произвольный вектор из $\mathbb{R}^{n},$ то положим $ x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда $|x|=1,$ т.е. $x$ лежит на единичной сфере, а поэтому $Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо $x$ подставим его значение, то получим $Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы $Q$, имеем $Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда $$Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$$ где
$$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$$

  1. Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
  2. Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем $$ Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.

    Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$(так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

    Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.

  3. Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим $$Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.

    Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} $

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$, то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Определение. Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $$
\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.
$$

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Критерий отрицательной определенности. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

  1. Найти матрицу квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 4x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{3} — x_{3}^{2}$$
    Решение
    1. Запишем квадратичную форму в виде $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$$
    2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $$\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$$
  2. Установить характер знакоопределенности квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=4x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}$$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $$
      \triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
  3. Найти все значения $\lambda,$ при которых положительно определена квадратичная форма $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + \lambda x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3}. $$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Найдём главные миноры: $$
      \triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$$

    3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда $$\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Список использованной литературы

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тригонометрическим многочленом степени $n$ называют бесконечно дифференцируемую и $2\pi$-периодическую функцию $$T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$$ где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ — некоторые вещественные числа, $a_n \cdot b_n \neq 0$. Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Любую непрерывную $2\pi$-периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такой тригонометрический многочлен $T_n(x)$, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство

Так, как сумма Фейера $\sigma_n(x)$ — это среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$, которые являются тригонометрическими многочленами, то она также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся сумма Фейера $\sigma_n(x)$ такая, что $$\max \limits_{x \in \mathbb{R}} \left| f(x) — \sigma_n (x) \right| < \varepsilon.$$

Замечание

Непрерывную функция $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда $f(\pi) = f(-\pi)$.

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Непрерывную на отрезке $[a, b]$ функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ такой, что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_n(x) \right| < \varepsilon.$$

Доказательство.

Пусть $[a, b] = [0, \pi]$ и чётным образом продолжим функцию $f(x)$ на отрезок $[-\pi, 0]$, а затем на всю вещественную ось с периодом $2 \pi$. Получим чётную, $2 \pi$-периодическую непрерывную функцию, совпадающую с $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ (рис.1).

Weierstrass-theorem

В силу теоремы Фейера для любого $\varepsilon > 0$ найдётся тригонометрический многочлен $T_m(x)$ такой, что $$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (1)$$

Каждая из функций $\sin kx$ и $\cos kx$ является аналитической и поэтому раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой прямой. Так как $T_m(x)$ — это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$, то $T_m(x)$ также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$, $$T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots.$$

Известно, что на любом отрезке $[\alpha, \beta]$, лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0$ существует такое $k$, что $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — (c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (2)$$

Если положить $P_k (x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k$, то в силу (1) и (2) получаем $$\left| f(x) — P_k(x) \right| \le \left| f(x) — T_m(x) \right| + \left| T_m(x) — P_k(x) \right| \le$$ $$\le \max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| + \max_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — P_k(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Следовательно, $$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Пусть теперь функция $f(x)$ непрерывна на произвольном отрезке $[a, b]$. Положим $F(t) = f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a))$, $0 \le t \le \pi$.

Тогда функция $F(t)$ непрерывна на $[0, \pi]$ и её можно равномерно приблизить на $[0, \pi]$ многочленом $Q_k(t)$, т.е. $$\max \limits_{0 \le t \le \pi} \left| f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a)) — Q_k(t) \right| < \varepsilon. (3)$$

Полагая $x = a + \dfrac{t}{\pi} (b-a), P_k(x) = Q_k (\pi \dfrac{x — a}{b — a})$,
получаем из неравенства (3), что $$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$$

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тест по теме «Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами».

Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных множествах

Первая теорема Вейерштрасса

Пусть [latex]K[/latex] — компакт в [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] и функция [latex]f: K\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/latex] непрерывна на [latex]K[/latex]. Тогда эта функция ограничена на [latex]K[/latex].

Доказательство

В силу непрерывности [latex]f[/latex], для любого [latex]x\in K[/latex] найдётся окрестность [latex]U_{x}[/latex], такая что функция [latex]f[/latex] ограничена на множестве [latex]U_{x}[/latex], то есть для каждого [latex]y\in K \cap U_{x}[/latex] справедливо неравенство [latex]\begin{Vmatrix} f(y) \end{Vmatrix}\leq M_{x}[/latex], где [latex]M_{x}[/latex] зависит от [latex]x[/latex]. Совокупность открытых шаров [latex]U_{x}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]K[/latex]. В силу компактности, из него можно выделить конечное подпокрытие [latex]U_{x_{1}}, …, U_{x_{p}}[/latex]. Этим шарам соответствуют числа [latex]M_{x_{1}}, …, M_{x_{p}}[/latex]. На каждом и этих шаров функция [latex]f[/latex] ограничена этим числом. Пускай [latex]M=\max_{1\leq i\leq p}M_{x_{i}}[/latex]. Тогда для любого [latex]x\in K[/latex] получим, что [latex]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M[/latex].

Пусть функция [latex]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] непрерывна на [latex]\left[a, b \right][/latex]. По первой теореме Вейерштрасса эта функция ограничена на [latex]\left[a, b \right][/latex].

Vey1

Вторая теорема Вейерштрасса

Пусть [latex]f: K\rightarrow \mathbb{R}[/latex] — действительная непрерывная функция на компакте [latex]K\subset \mathbb{R}^{n}[/latex]. Тогда на этом множестве функция [latex]f[/latex] достигает своей верхней и нижней границы, то есть существуют такие [latex]x^{‘}, x^{»}\in K[/latex], что

[latex]f(x^{‘})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)[/latex], [latex]f(x^{»})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)[/latex].

Доказательство

Пусть [latex]f: E\rightarrow \mathbb{R}[/latex], где [latex]E\subset \mathbb{R}^{n}[/latex]. Функция [latex]f[/latex] называется ограниченной сверху на множестве [latex]E[/latex], если существует такая постоянная [latex]M[/latex], то для всех [latex]x\in E[/latex] справедливо неравенство [latex]\begin{Vmatrix} f(x) \end{Vmatrix}\leq M[/latex]. Каждое такое число [latex]M[/latex] называется верхней границей функции [latex]f[/latex], а наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей или верхней гранью функции [latex]f[/latex] и обозначается [latex]\sup_{x\in E}f\left(x \right)[/latex].

Пойдём от противного. Допустим, верхняя грань не достигается, то есть для каждого [latex]x\in K[/latex] справедливо неравенство [latex]f(x)<M[/latex], где [latex]M[/latex] — верхняя грань функции [latex]f[/latex] на [latex]K[/latex].

Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=\frac{1}{M-f(x)}[/latex]. Эта функция положительна и непрерывна в каждой точке [latex]x\in K[/latex]. По ранее доказанной первой теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует такое число [latex]\mu >0[/latex], что [latex]\varphi (x)\leq \mu [/latex] для любого [latex]x\in K[/latex]. Это означает, что [latex]\frac{1}{M-f(x)}\leq \mu[/latex], или, что то же самое, [latex]f(x)\leq M-\frac{1}{\mu}(x\in K)[/latex]. Следовательно, число [latex]M-\frac{1}{\mu}[/latex] является верхней границей для функции [latex]f[/latex]. Но так как [latex]\mu >0[/latex], то это противоречит тому, что [latex]M[/latex] является верхней гранью функции [latex]f[/latex], то есть наименьшей из всех верхних границ.

Аналогично теорема доказывается и для нижней грани.

Пусть функция [latex]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/latex] непрерывна на [latex]\left[a, b \right][/latex]. Тогда на этом множестве функция [latex]f[/latex] достигает своей верхней и нижней граней [latex]M=f(x^{»})=\sup_{x\in E}f\left(x \right)[/latex], [latex]m=f(x^{‘})=\inf_{x\in E}f\left(x \right)[/latex].

Vey2

Пример

Пусть [latex]f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1[/latex]. Будет ли [latex]f[/latex] ограничена на [latex]\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right][/latex]?

Спойлер

[latex]\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right][/latex] — компактное множество (оно замкнуто и ограничено). [latex]f(x,y)=x^{5}+y^{4}+2x^{3}y^{2}+1[/latex] — непрерывна как композиция непрерывных функций.

Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса [latex]f[/latex] ограничена на [latex]\left[5, 7 \right]\times\left[8,9 \right][/latex].

[свернуть]
Литература

Тест на знание теорем Вейерштрасса о непрерывных функциях на компакте

Тест поможет понять, как хорошо вы усвоили приведённый выше материал.

Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней границ

Вторая теорема Вейерштрасса

Если [latex]f\in C[a;b][/latex] , то она достигает своих точных граней, то есть

[latex] \exists \xi \in [a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]  и

[latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})= \inf\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] .

Доказательство:

[latex]\exists \xi \in [ a;b]: f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b] } f(x) [/latex]
Обозначим [latex]M=\sup f(x)[/latex] (следует из первой теоремы Вейерштрасса)
В силу определения точной верхней грани выполняется условие: [latex]\forall x\in [a;b]:f(x)\leq M[/latex]
[latex]\forall \varepsilon >0\; \exists x_{\varepsilon }\in [a;b]:M-\varepsilon <f(x_{\varepsilon })[/latex]

Полагая [latex]\varepsilon =1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{n},…[/latex] получим последовательность [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]такую, что для всех [latex] n\in N [/latex]выполняются условия [latex]\forall n\in \mathbb{N}:M-\frac{1}{n}<f(x_{n})\leq M[/latex] откуда получаем [latex] \lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n})[/latex] существует подпоследовательность [latex]\left \{ x_{n_{k}} \right \}[/latex]  (по теореме Больцано-Вейерштрасса) последовательности [latex]\left \{ x_{n} \right \}[/latex]  и точка [latex]\xi[/latex] , такие что [latex] \lim\limits_{x \to \infty } x_{n_{k}}=\xi[/latex] ,  где  [latex]\xi\in [a;b].[/latex]
В силу непрерывности функции [latex]f[/latex] в точке [latex]\xi[/latex] [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=f(\xi )[/latex]

С другой стороны [latex]\left \{ f(x_{n_{k}}) \right \}[/latex] — подпоследовательность последовательности [latex]\left \{ f(x_{n}) \right \}[/latex], сходящейся к числу [latex]M.[/latex]
Поэтому  [latex]\lim\limits_{x \to \infty }f(x_{n_{k}})=M[/latex]
В силу единственности предела последовательности заключаем, что[latex]f(\xi )=M=\sup\limits_{x \in [a;b]} f(x); [/latex]

Утверждение [latex]\exists \xi \in [ a; b]:f(\xi)= \sup\limits_{x \in [a;b]} f(x)[/latex] доказано.

Аналогично доказывается [latex]\exists \xi _{1}\in [a;b]: f(\xi_{1})=\inf\limits_{x \in [a;b]} f(x) [/latex]
Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

Литература

Тест по теме «Вторая теорема Вейерштрасса»