Processing math: 100%

М2026. О площадях треугольников, находящихся внутри квадрата


Задача №2026 из журнала «Квант» (2007, №1 и №4)

Условие

На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что MAN=45o, PM||AN, AN||NQ. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ.

Решение

2026
Прежде всего отметим, что PMA=MAN=ANQ, и значит, треугольники AFG, MFP и NQG подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству GF2=PF2+GQ2. Далее, треугольники NQD и MPB подобны треугольникам AMB и AND соответственно, следовательно, QDND=BMAB,NDAD=BPBM. Перемножив эти равенства, получим, что BP=DQ, или AP=AQ. Пусть X — точка, симметричная P относительно AM. Тогда AX=AP=AQ и XAN=45oMAP=NAD, т.е. X также симметрична Q относительно AN. Таким образом, XF=FP,XG=GQ и XFG+XGF=360o2PFM2QGN=90o. Применив к прямоугольному треугольнику XFG теорему Пифагора, получим искомое равенство.

М1606. Построение отрезка параллельного стороне треугольника и видимого из середины этой стороны под прямым углом

Задача из журнала «Квант» (1997, №5)

Условие

Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE с концами на сторонах AB и BC, параллельный стороне AC и видимый из середины стороны AC под прямым углом.

Решение

Задача легко решается методом подобия. Пусть P — точка, в которой продолжение медианы BK пересекает полуокружность с центром K и диаметром AC (см. рисунок). При гомотетии с центром B, переводящей точку P в точку K, отрезок AC перейдет в искомый отрезок   DE: этот отрезок параллелен AC и DKE=APC=90
M1606
Заметим, что треугольник AKP(а также CKP) — равнобедренный, поэтому углы DKA=KAP и DKB=APK равны (и, аналогично, BKE=EKC). Таким образом, для построения нужного отрезка DE достаточно провести биссектрисы KD и KE углов AKB и BKC. То, что полученный отрезок DE обладает нужными свойствами, легко доказать непосредственно: DKE=90, поскольку он состоит из половинок углов, дающие в сумме развернутый угол, а параллельность DE и AC вытекает из равенств, использующих свойства биссектрис:

ADDB=AKKB=CKKB=CEEB.

Задача имеет и другие решения, связанные с подсчетом углов.

Р.Травкин, Н.Васильев, В.Сендеров

М1586

Формулировка:

Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника ( не содержащих эту вершину ). Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

questPic1586

Решение:

Одно из решений (см. рисунок): если BAM=α, то CBL= 180(90α) 60= =30+α, CAK=30α, BCL=60α, и утверждение задачи сводится к проверке тождества (для 0<α<30):

sinαcosα+sin(30α)cos(30α)=sin(30+α)cos(30+α),

или, переходя к двойным углам, sin2α+sin(602α)=sin(60+2α).

Оно следует из формулы sin(60+2α)sin(602α)=2sin2αcos60.

А.Егоров