Задача №2026 из журнала «Квант» (2007, №1 и №4)
Условие
На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что ∠MAN=45o, PM||AN, AN||NQ. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ.
Решение
Прежде всего отметим, что ∠PMA=∠MAN=∠ANQ, и значит, треугольники AFG, MFP и NQG подобны (см. рисунок). Поэтому утверждение задачи равносильно равенству GF2=PF2+GQ2. Далее, треугольники NQD и MPB подобны треугольникам AMB и AND соответственно, следовательно, QDND=BMAB,NDAD=BPBM. Перемножив эти равенства, получим, что BP=DQ, или AP=AQ. Пусть X — точка, симметричная P относительно AM. Тогда AX=AP=AQ и ∠XAN=45o—∠MAP=∠NAD, т.е. X также симметрична Q относительно AN. Таким образом, XF=FP,XG=GQ и ∠XFG+∠XGF=360o—2∠PFM—2∠QGN=90o. Применив к прямоугольному треугольнику XFG теорему Пифагора, получим искомое равенство.